V OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

Rozłożyć na czynniki wyrażenie

$ W = x^4 (y - z) + y^4 (z - x) + z^4 (x - y). $

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że wyrażenie $W$ dopuszcza podstawienie cykliczne, tzn. nie ulega zmianie, gdy jednocześnie zastąpimy w nim $x$ przez $y$ , $y$ przez $z$ i $z$ przez $x$ .

Jeżeli w wyrażeniu $W$ , które jest wielomianem stopnia czwartego względem $x$ , podstawimy $x = y$ , otrzymamy $W = 0$ ; wielomian $W$ jest więc podzielny przez $x - y$ , a wobec tego, że wyrażenie $W$ dopuszcza podstawienie cykliczne, jest ono też podzielne przez $y - z$ i przez $z - x$ , zatem przez $(x - y) (y - z) (z - x)$ . Z uwagi na to, że $W$ jest wielomianem jednorodnym stopnia piątego względem $x$ , $y$ i $z$ , a $(x - y) (y - z) (z - x)$ jest wielomianem jednorodnym stopnia trzeciego względem tych zmiennych, iloraz tych wielomianów musi być wielomianem jednorodnym stopnia drugiego względem $x$ , $y$ , $z$ i $W$ ma postać

$ W = (x - y) (y - z) (z - x) (ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fzx). $

Ponieważ zarówno $W$ jak $(x - y) (y - z) (z - x)$ dopuszczają podstawienie cykliczne, więc tę samą własność musi mieć ich iloraz, zatem $a = b = c$ , $d = e = f$ , czyli

$ W = (x - y)(y - z)(z - x) [a (x^2 + y^2 + z^2) + d (xy + yz + zx)]. $

Dla wyznaczenia współczynników $a$ i $d$ wystarczy obliczyć wartości obu stron powyższej równości po podstawieniu zamiast $x$ , $y$ i $z$ dowolnych, lecz różnych wartości liczbowych. Podstawiając np. $x = 0$ , $y = 1$ , $z = - 1$ otrzymujemy $- 2 = 2 (2a-d)$ , czyli $2a - d = - 1$ , podstawiając zaś $x = 0$ , $y =-1$ , $z = 2$ otrzymujemy $- 14 = 2 (5a + 2d)$ , czyli $5a + 2d = - 7$ ; z tych związków znajdujemy $a = - 1$ , $d = - 1$ . Zatem

$ W = (x - y) (y - z) (x - z) (x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx). $