V OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

Na płaszczyźnie dana jest prosta $p$ oraz punkty $A$ i $B$ . Znaleźć na prostej $p$ taki punkt $M$ , żeby suma kwadratów $AM^2 + BM^2$ była jak najmniejsza.

Rozwiązanie

Miejscem geometrycznym takich punktów $X$ płaszczyzny, dla których $AX^2 + BX^2$ ma daną wartość $2k^2$ , jest pewien okrąg, którego środek leży w środku $S$ odcinka $AB$ ; promień tego okręgu jest tym większy, im większe jest $k$ .

Najmniejszym okręgiem o środku $S$ , który ma punkt wspólny z prostą $p$ , jest okrąg styczny do prostej $p$ ; punktem styczności jest rzut $M$ punktu $S$ na prostą $p$ . Punkt $M$ jest punktem poszukiwanym; zadanie ma zawsze rozwiązanie i tylko jedno.

Uwaga. Twierdzenie o miejscu geometrycznym, na które powołaliśmy się w powyższym rozwiązaniu, można udowodnić, jak następuje. Niech $AB = c$ i niech $X$ będzie dowolnym punktem płaszczyzny (rys. 22). Wówczas

$<br /> SX^2 = \frac{1}{2} AX^2 + \frac{1}{2} BX^2 - \frac{1}{4} c^2<br />$

Gdy $X$ leży poza prostą $AB$ , równość ta jest znanym wzorem na kwadrat środkowej trójkąta (patrz zadanie 2). Gdy $X$ leży na prostej $AB$ , sprawdzenie równości jest łatwe i pozostawiamy je czytelnikowi.

Z równości tej wynika: 1°) jeśli $AX^2 + BX^2$ ma daną wartość $2k^2$ , to punkt $X$ leży na okręgu o środku $S$ i promieniu $\sqrt{k^2 - \frac{1}{4} c^2}$ ; musi być zatem $k \geq \frac{1}{2} c$ , przy czym gdy $k = \frac{1}{2} c$ , okrąg redukuje się do punktu $S$ ; 2°) jeśli punkt $X$ leży na takim okręgu, tj. jeśli $SX = \sqrt{k^2 - \frac{1}{4} c^2}$ , to $AX^2 + BX^2 = 2k^2$ , cnd.