V OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

Dane są odległości wzajemne czterech punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ w przestrzeni. Obliczyć długość odcinka łączącego środek odcinka $AB$ ze środkiem odcinka $CD$ .

Rozwiązanie

Załóżmy, że punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ nie leżą na jednej płaszczyźnie. Środki $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ odcinków $AB$ , $BC$ , $AC$ , $AD$ , $BD$ , $CD$ (rys 24) są wówczas różnymi od siebie punktami. Na mocy twierdzenia o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta mamy $MR \parallel AD \parallel PS$ i $MR = PS = \frac{1}{2} AD$ ; podobnie $MP \parallel BC \parallel RS$ i $MP = RS =\frac{1}{2} BC$ . Czworokąt $MPSR$ jest równoległobokiem; według twierdzenia o sumie kwadratów przekątnych równoległoboku piszemy

$ MS^2 + PR^2 = MR^2 + PS^2 + MP^2 + RS^2 = \frac{1}{2} AD^2 + \frac{1}{2} BC^2. $

Analogicznie

$ PR^2 + NQ^2 = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2} CD^2, $

$ NQ^2 + MS^2 = \frac{1}{2} AC^2 + \frac{1}{2} BD^2. $

Z powyższych trzech równań łatwo obliczyć długości $MS$ , $PR$ , $NQ$ . Otrzymujemy np.

$ (1) \qquad MS^2 = \frac{1}{4} (AC^2 + AD^2 + BC^2 + BD^2 - AB^2 - CD^2). $

Jest to żądany wzór wyrażający odległość środków odcinków $AB$ i $CD$ w zależności od wzajemnych odległości punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Powyższe rozumowanie stosuje się bez zmian do przypadku, gdy punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ leżą na jednej płaszczyźnie, ale żadne trzy z nich nie leżą na jednej prostej, a przy tym punkty $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ są od siebie różne.

Nie trudno się przekonać, że wzór (1) jest ogólny, tzn. jest prawdziwy, jakiekolwiek byłoby położenie punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Niektóre z tych punktów lub wszystkie mogłyby się nawet pokrywać. Proponujemy czytelnikowi, żeby modyfikując w odpowiedni sposób powyższy dowód wykazał słuszność wzoru (1) w następujących przypadkach wyczerpujących wraz z przypadkami już rozpatrzonymi wszystkie możliwości.

a) Trzy spośród punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ leżą na jednej prostej, czwarty zaś poza tą prostą;

b) punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ leżą na jednej prostej;

c) żadne trzy spośród punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ nie leżą na jednej prostej, ale punkty $M$ i $S$ lub punkty $N$ i $Q$ lub punkty $P$ i $R$ pokrywają się.

Można by jednak dowieść ogólności wzoru (1) na innej drodze, traktując mianowicie możliwości a), b), c) jako przypadki graniczne przypadku zasadniczego, w którym punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ nie leżą na jednej płaszczyźnie. Objaśnimy to dla przypadku a). Przypuśćmy, że $A$ , $B$ , $C$ są trzema różnymi punktami prostej $p$ , a punkt $D$ znajduje się poza prostą $p$ . Niech $M$ będzie środkiem odcinka $AB$ , a $S$ środkiem odcinka $CD$ .

Obierzmy punkt $A'$ w pobliżu punktu $A$ poza płaszczyzną punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Niech $M'$ oznacza środek odcinka $A'B$ . Ponieważ punkty $A'$ , $B$ , $C$ , $D$ nie leżą w jednej płaszczyźnie, więc jak dowiedliśmy poprzednio

$ (1a )\qquad M'S^2 = \frac{1}{4} (A'C^2 + A'D^2 + BC^2 + BD^2 - A'B^2 - CD^2). $

Niech punkt $A'$ zbliża się nieograniczenie (inaczej: dąży) do punktu $A$ np. po prostej $A'A$ . Wówczas punkt $M'$ dąży do punktu $M$ , a długości $M'S$ , $A'C$ , $A'D$ , $A'B$ dążą do długości $MS$ , $AC$ , $AD$ , $AB$ i ze wzoru (1a) otrzymujemy wzór (1) przechodząc, jak się mówi w matematyce, do granicy. Rozumowanie powyższe opiera się na początkowych wiadomościach z tzw. teorii granic, które można znaleźć w pierwszych rozdziałach każdego podręcznika analizy matematycznej (Patrz np. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, wydanie III, Warszawa 1954, rozdział II.)