V OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

Punkty $A, B, C, D, \ldots$ są kolejnymi wierzchołkami pewnego wielokąta foremnego, przy czym zachodzi związek

$ \frac{1}{AB} = \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD}. $

Ile boków ma ten wielokąt?

Rozwiązanie

\spos{1} Niech $r$ oznacza promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym $ABCD\ldots$ , a $2x$ - kąt środkowy (wypukły) tego okręgu odpowiadający cięciwie $AB$ . Wówczas (rys. 25)

$ AB = 2r \sin x,\ AC = 2r \sin 2x,\ AD = 2r \sin 3x. $

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy

$ (2) \qquad \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\sin 2x} + \frac{1}{\sin 3x}. $

W celu rozwiązania równania (2) mnożymy je przez iloczyn $\sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x$ i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę.

$ (3) \qquad \sin 2x \sin 3x - \sin x \sin 3x - \sin x \sin 2x = 0. $

Przekształcimy równanie (3) zmierzając do tego, żeby lewą stronę przedstawić w postaci iloczynu. Otrzymujemy kolejno:

$\sin 2x (\sin 3x - \sin x) - \sin x \sin 3x = 0,$

$\sin 2x \cdot 2 \sin x \cos 2x - \sin x \sin 3x = 0,$

$\sin x \sin 4x - \sin x \sin 3x = 0,$

$\sin x (\sin 4x - \sin 3x) = 0$

i ostatecznie

$ (4) \qquad \sin x \sin \frac{x}{2} \cos \frac{7x}{2} = 0. $

Równania (3) i (4) są sobie równoważne, lecz nie są one równoważne równaniu (2), gdyż tylko te ich rozwiązania spełniają równanie (2), dla których $\sin x \sin 2x \sin 3x \ne 0$ , tj. $x \ne \frac{k\pi}{2}$ i $x \ne \frac{k\pi}{3}$ , gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą. Stąd wynika, że pierwiastki równania (2) spełniają równanie

$ \cos \frac{7x}{2} = 0, $

którego rozwiązanie daje wzór

$ (5) \qquad x = \frac{\pi}{7} + \frac{2n\pi}{7} \ (n = \textrm{ liczba całkowita}) $

Pierwiastkami równania (2) są te spośród liczb (5), które spełniają warunek $x \ne \frac{k\pi}{2}$ i $x \ne \frac{k\pi}{3}$ . Czytelnik zechce sprawdzić, że warunek ten oznacza, iż we wzorze (5) liczba całkowita $n$ nie jest dowolna, lecz ma czynić zadość nierówności $n \ne \frac{7k-2}{4}$ i $n \ne \frac{7k-3}{6}$ , gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.