IX CPS - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

IX CPS, 2009

Dany jest okrąg $k$ i jego cięciwa $AB$ , nie będąca średnicą. Niech $C$ będzie dowolnym punktem na dłuższym łuku $AB$ okręgu $k$ . Oznaczmy przez $K,L$ odbicia punktów $A,B$ względem prostych odpowiednio $BC,AC$ . Udowodnić, że odległość między środkami odcinków $AB$ i $KL$ nie zależy od wyboru punktu $C$ .

Rozwiązanie

Sposób I

Niech $\alpha$ , $\beta$ oraz $\gamma$ będą odpowiednio miarami kątów $\measuredangle CAB$ , $\measuredangle ABC$ oraz $\measuredangle BCA$ . Na mocy założenia zadania kąt $\measuredangle BCA$ jest zawsze ostry. Możemy założyć, że $\alpha<90^{\circ}$ , gdyż w drugim przypadku, $\beta<90^{\circ}$ , rozumowanie jest analogiczne. Niech $S$ , $M$ , $U$ , $V$ będą środkami odcinków odpowiednio $AB$ , $KL$ , $AL$ , $BK$ . Niech ponadto $H$ będzie punktem przecięcia prostych $AK$ i $BL$ .

Zauważmy, że czworokąt $USVM$ jest równoległobokiem ( $SU\|BL\|MV$ , $SV\|AK\|MU$ ) oraz

$ SV=AB\sin\beta,\quad MV=SU=AB\sin\alpha,\quad\measuredangle SVM=\measuredangle AHL=\measuredangle ACB=\gamma. $

Z twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkąta $ABC$ wynika, że

$ \frac{AC}{SV}=\frac1{AB}\cdot\frac{AC}{\sin\beta}=\frac1{AB}\cdot\frac{BC}{\sin\alpha}=\frac{BC}{MV}, $

więc trójkąty $SVM$ i $ACB$ są podobne (cecha bok-kąt-bok). Ponownie korzystamy z twierdzenia sinusów i otrzymujemy

$ SM=AB\cdot\frac{SV}{AC}=\frac{AB^2\sin\beta}{AC}=\frac{AB^2\sin\gamma}{AB}=AB\sin\gamma=2r, $

gdzie $r$ jest promieniem okręgu $k$ , niezależnym od wyboru punktu $C$ .

Sposób II

Niech $S$ będzie środkiem odcinka $AB$ , $M$ - środkiem odcinka $KL$ , $P$ i $Q$ - spodkami wysokości odpowiednio z wierzchołków $A$ i $B$ trójkąta $ABC$ . Oczywiście $P$ i $Q$ są środkami odcinków $AK$ i $BL$ , więc

$ QS=\tfrac12LA=MP\qquad\text{i}\qquad QS\|LA\|MP, $

a zatem $SPMQ$ jest równoległobokiem (nawet w przypadku zdegenerowanego trójkąta $LAB$ lub $LAK$ ).

Kąty $APB$ i $AQB$ są proste, punkty $P$ i $Q$ leżą na okręgu o średnicy $AB$ , więc $SP=SQ=\frac{1}{2}AB$ . Z tego wynika, że równoległobok $SPMQ$ jest rombem i długość jego boków nie zależy od położenia punktu $C$ . Aby wykazać, że również długość jego przekątnej $SM$ jest niezależna od $C$ , wystarczy sprawdzić, że miara kąta wyznaczonego przez boki $SP$ i $SQ$ nie zmienia się podczas przesuwania $C$ po okręgu $k$ (wtedy wszystkie romby $SPMQ$ są przystające).

Jeśli kąt $\alpha$ w trójkącie $ABC$ jest ostry, punkt $Q$ leży na odcinku $AC$ i kąt $PSQ$ jest kątem środkowym koła o średnicy $AB$ , opartym na tym samym łuku co kąt wpisany $PAQ$ . Zatem

$ \measuredangle PSQ=2\cdot\measuredangle PAQ=2(90^\circ-\gamma)=180^\circ-2\gamma. $

Ten sam wzór otrzymujemy w przypadku, gdy $\alpha$ nie jest kątem ostrym, ponieważ wtedy $\beta$ jest ostry i możemy rozważać kąt wpisany $PBQ$ zamiast $PAQ$ :

$ \measuredangle PSQ=2\cdot\measuredangle PBQ=2(90^\circ-\gamma)=180^\circ-2\gamma. $

Wiadomo, że $\gamma$ nie zmienia się przy przesuwaniu $C$ po okręgu $k$ , ponieważ jest miarą kąta wpisanego, opartego na ustalonym łuku $AB$ , a zatem miara kąta $PSQ$ również pozostaje niezmienna. Wobec wcześniejszych uwag to kończy dowód.