V OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

Obliczyć $x^{13} + \frac{1}{x^{13}}$ wiedząc, że $x + \frac{1}{x} = a$ , gdzie $a$ jest liczbą daną.

Rozwiązanie

Ujmiemy zadanie ogólniej i wykażemy, że dla dowolnego naturalnego $k$ można obliczyć wyrażenie $x^k + \frac{1}{x^k}$ w zależności od $x + \frac{1}{x}$ . Zauważmy w tym celu, że

$ \left( x^m + \frac{1}{x^m} \right) \left( x^n + \frac{1}{x^n} \right) = \left( x^{m+n} + \frac{1}{x^{m+n}} \right) + \left( x^{m-n} + \frac{1}{x^{m-n}} \right), $

zatem

$ (1) \qquad x^{m+n} + \frac{1}{x^{m+n}} = \left( x^m + \frac{1}{x^m} \right) \left( x^n + \frac{1}{x^n} \right) - \left( x^{m-n} + \frac{1}{x^{m-n}} \right). $

Równość (1) pozwala sprowadzić obliczenie wyrażenia $x^k + \frac{1}{x^k}$ do obliczenia wyrażeń tej samej postaci, lecz o wykładniku niższym. Tego rodzaju wzory nazywają się wzorami zwrotnymi lub rekurencyjnymi.

W szczególności, gdy $n = 1$ , równość (1) daje wzór zwrotny

$ (2) \qquad x^{m+1} + \frac{1}{x^{m+1}} = \left( x^m + \frac{1}{x^m} \right) \left( x + \frac{1}{x} \right) - \left( x^{m-1} + \frac{1}{x^{m-1}} \right), $

a gdy $n = m$ otrzymujemy wzór zwrotny

$ (3) \qquad x^{2m} + \frac{1}{x^{2m}} = \left( x^m + \frac{1}{x^m} \right)^2 - 2. $

Zastosujemy powyższe wzory do obliczenia $x^{13} + \frac{1}{x^{13}}$ , gdy mamy dane $x + \frac{1}{x} = a$ . Według wzoru (3):

$x^{2} + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 = a^2 -2$

$x^{4} + \frac{1}{x^4} = \left( x^{2} + \frac{1}{x^2}\right)^2 - 2 = a^4 - 4a^2 + 2.$

Według wzoru (2):

$ x^{3} + \frac{1}{x^3} = \left( x^{2} + \frac{1}{x^2}\right) \left( x + \frac{1}{x}\right) - \left( x + \frac{1}{x} \right) = a^3 - 3a,$

stąd według wzoru (3)

$x^{6} + \frac{1}{x^6} = \left(x^{3} + \frac{1}{x^3} \right)^2 - 2 = a^6 - 6a^4 + 9a^2 - 2.$

Stosując wreszcie wzór (1) otrzymujemy

$ \begin{split} x^{7} + \frac{1}{x^7} =& \left( x^{4} + \frac{1}{x^4} \right) \left( x^{3} + \frac{1}{x^3} \right) - \left( x + \frac{1}{x} \right) =\\ =& (a^4 - 4a^2 + 2)(a^3 - 3a) - a = a^7 - 7a^5 + 14a^3 - 7a \end{split} $

i ostatecznie

$ \begin{split} x^{13} + \frac{1}{x^{13}} =& \left( x^{7} + \frac{1}{x^7} \right) \left( x^{6} + \frac{1}{x^6} \right) - \left( x + \frac{1}{x} \right)=\\ =&(a^7 - 7a^5 + 14a^3 - 7a)(a^6 - 6a^4 + 9a^2 - 2) - a=\\ =&a^{13} - 13a^{11} + 65a^9 - 156a^7 + 182a^5 - 91a^3 + 13a. \end{split} $