V OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

Dane są dwie przecinające się proste $a$ i $b$ . Znaleźć miejsce geometryczne punktu $M$ mającego tę własność, że odległość między rzutami prostokątnymi punktu $M$ na proste $a$ i $b$ jest stała, równa danemu odcinkowi $d$ .

Rozwiązanie

Niech $A$ i $B$ oznaczają rzuty punktu $M$ odpowiednio na proste $a$ i $b$ przecinające się w punkcie $O$ i niech $\alpha$ oznacza kąt wypukły $AOB$ (rys. 27). Okrąg o średnicy $OM$ przechodzi przez punkty $A$ i $B$ , gdyż kąty $OAM$ i $OBM$ są proste; okrąg ten jest więc okręgiem opisanym na trójkącie $AOB$ i $AB = OM \sin \alpha$ . Jeżeli $AB = d$ , to $OM = \frac{d}{\sin \alpha}$ . Punkt $M$ leży zatem na okręgu $k$ o środku $O$ i promieniu równym $\frac{d}{\sin \alpha}$ .

Odwrotnie, jeśli pewien punkt $N$ leży na owym okręgu $k$ (rys. 28), to jego rzuty $C$ i $D$ na proste $a$ i $b$ leżą na okręgu o średnicy $ON = \frac{d}{\sin \alpha}$ ; okrąg ten jest okręgiem opisanym na trójkącie $COD$ , zatem $CD = \frac{d}{\sin \alpha} \cdot \sin \measuredangle COD$ . Lecz $\measuredangle COD$ jest równy $\alpha$ lub $180^\circ - \alpha$ , zatem $\sin \measuredangle COD = \sin \alpha$ i $CD = d$ .

Poszukiwanym miejscem geometrycznym jest więc okrąg zakreślony z punktu przecięcia danych prostych jako ze środka promieniem równym $\frac{d}{\sin \alpha}$ , gdzie $\alpha$ oznacza jeden z kątów między danymi prostymi.