V OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

Dowieść, że wśród dziesięciu kolejnych liczb naturalnych znajduje się zawsze co najmniej jedna, a co najwyżej cztery liczby niepodzielne przez żadną z liczb $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .

Rozwiązanie

W ciągu składającym się z dziesięciu kolejnych liczb naturalnych jest pięć liczb parzystych i pięć liczb nieparzystych. Wobec tego zadanie można sprowadzić do zadania następującego:

Dowieść, że wśród pięciu kolejnych liczb nieparzystych znajduje się co najmniej jedna, a co najwyżej cztery liczby niepodzielne przez żadną z liczb $3$ , $5$ , $7$ .

Zauważmy, że w ciągu liczb nieparzystych co trzecia liczba jest podzielna przez $3$ , co piąta przez $5$ i co siódma przez $7$ . Zatem:

a) Wśród pięciu kolejnych liczb nieparzystych co najmniej jedna jest podzielna przez $3$ ; a więc liczb niepodzielnych przez $3$ , a tym bardziej liczb niepodzielnych przez $3$ ani przez $5$ , ani przez $7$ nie może być wśród nich więcej niż cztery. Przykład liczb $11$ , $13$ , $15$ , $17$ , $19$ pokazuje, że wśród pięciu kolejnych liczb nieparzystych mogą się znajdować cztery liczby niepodzielne przez żadną z liczb $3$ , $5$ , $7$ .

b) Wśród pięciu kolejnych liczb nieparzystych co najwyżej dwie są podzielne przez $3$ , co najwyżej jedna jest podzielna przez $5$ i co najwyżej jedna jest podzielna przez $7$ . Stąd wynika, że co najmniej jedna z tych pięciu liczb nie jest podzielna ani przez $3$ , ani przez $5$ , ani przez $7$ .