V OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

Dane są: punkt $A$ , prosta $p$ i okrąg $k$ . Wykreślić trójkąt $ABC$ o kątach $A = 60^\circ$ , $B = 90^\circ$ , którego wierzchołek $B$ leży na prostej $p$ , a wierzchołek $C$ - na okręgu $k$ .

Rozwiązanie

(metoda miejsc geometrycznych).

Zadanie sprowadza się do tego, żeby znaleźć punkt $C$ spełniający dwa warunki:

1° Punkt $C$ leży na danym okręgu $k$ ;

2° punkt $C$ jest wierzchołkiem trójkąta $ABC$ o danym wierzchołku $A$ , którego wierzchołek $B$ leży na danej prostej $p$ i w którym $\measuredangle A = 60^\circ$ , $\measuredangle B = 90^\circ$ .

Wyznaczymy miejsce geometryczne punktu spełniającego warunek 2°. Rozróżnimy dwa przypadki:

a) Punkt $A$ nie leży na prostej $p$ . Na prostej $p$ istnieją wówczas dwa punkty $M$ i $N$ żądanego miejsca geometrycznego (rys. 30); są one wierzchołkami trójkątów $ATM$ i $ATN$ , gdzie $AT$ jest odległością punktu $A$ od prostej $p$ , a $\measuredangle AMT = \measuredangle ANT = 30^\circ$ .

Niech $C$ będzie punktem spełniającym warunek 2° i niech przy tym kąt $ABC$ będzie zgodnie skierowany z kątem $ATM$ .

Punkt $M$ leży wówczas na okręgu opisanym na trójkącie $ABC$ . Istotnie punkt $B$ bądź pokrywa się z punktem $M$ , bądź leży na półprostej $MT$ , punkty $M$ i $C$ leżą tedy po tej samej stronie prostej $AB$ i $\measuredangle AMB = \measuredangle ACB = 30^\circ$ , bądź wreszcie punkt $B$ leży na przedłużeniu półprostej $TM$ poza punkt $M$ , punkty $M$ i $C$ znajdują się więc po przeciwnych stronach prostej $AB$ i $\measuredangle AMB + \measuredangle ACB = 180^\circ$ , gdyż $\measuredangle AMB = 180^\circ - \measuredangle AMT = 150^\circ$ , a $\measuredangle ACB = 30^\circ$ .

Ponieważ średnicą okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ jest $AC$ więc $\measuredangle AMC = 90^\circ$ . Uzyskaliśmy wynik, że wszystkie punkty szukanego miejsca geometrycznego, dla których $\measuredangle ABC$ jest skierowany zgodnie z kątem $ATM$ , leżą na prostej prostopadłej, w punkcie $M$ do prostej $AM$ . Odwrotnie, każdy punkt $C$ owej prostopadłej należy do miejsca geometrycznego; jeśli bowiem okrąg opisany na trójkącie $AMC$ przechodzi przez punkt $B$ prostej $p$ , to trójkąt $ABC$ spełnia warunek 2°, gdyż $\measuredangle ABC = \measuredangle AMC = 90^\circ$ , a $\measuredangle ACB = \measuredangle AMT = 30^\circ$ .

Analogicznie wszystkie punkty spełniające warunek 2°, a przy tym takie, że kąt $ABC$ jest skierowany zgodnie z kątem $ATN$ tworzą prostą prostopadłą w punkcie $N$ do prostej $AN$ .

Udowodniliśmy, że poszukiwane miejsce geometryczne składa się z dwóch prostych prostopadłych odpowiednio w punktach $M$ i $N$ do prostych $AM$ i $AN$ .

b) Punkt $A$ leży na prostej $p$ . W tym przypadku stwierdzamy bezpośrednio, że poszukiwane miejsce geometryczne składa się ze wszystkich punktów dwóch prostych przechodzących przez punkt $A$ i tworzących z prostą $p$ kąty $60^\circ$ i $120^\circ$ z wyjątkiem samego punktu $A$ (rys. 31).

Rozwiązanie postawionego zadania otrzymujemy znajdując punkty przecięcia danego okręgu $k$ z obu prostymi wyznaczonego miejsca geometrycznego. Zależnie, od położenia okręgu względem tych prostych ilość rozwiązań zadania może wynosić $4$ , $3$ , $2$ , $1$ lub $0$ .