V OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

Podać warunki przy których równanie

$ \sqrt{x - a} + \sqrt{x - b} = \sqrt{x - c } $

ma pierwiastki zakładając, że liczby $a$ , $b$ , $c$ są parami różne.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczba $x$ jest pierwiastkiem danego równania. W takim razie $x > a$ , $x > b$ , $x > c$ ; prócz tego $\sqrt{x - a} < \sqrt{x} - c$ , skąd wynika, że $x - a < x - c$ , zatem $c < a$ i analogicznie $c < b$ . Dane równanie może mieć zatem pierwiastki tylko wtedy, gdy liczby $a$ , $b$ , $c$ spełniają nierówności:

$ c < a,\ c < b $

Wykażemy, że gdy warunek ten jest spełniony, wtedy równanie dane ma jeden i tylko jeden pierwiastek. W tym celu utworzymy równanie wymierne, któremu muszą czynić zadość pierwiastki danego równania. Moglibyśmy uzyskać to równanie stosując dwukrotnie podnoszenie do kwadratu. Dogodniej będzie jednak postąpić inaczej. Piszemy następujące $4$ równania (z których pierwsze jest równoważne danemu):

$(1) \qquad \sqrt{x - a} + \sqrt{x - b} - \sqrt{x - c} = 0,$

$(2) \qquad \sqrt{x - a} - \sqrt{x - b} + \sqrt{x - c} = 0,$

$(3) \qquad-\sqrt{x - a} + \sqrt{x - b} + \sqrt{x - c} = 0,$

$(4) \qquad \sqrt{x - a} + \sqrt{x - b} + \sqrt{x - c} = 0.$

Mnożymy te równania stronami, korzystając z łatwego do sprawdzenia wzoru

$ (\alpha + \beta - \gamma) (\alpha - \beta + \gamma) (- \alpha + \beta + \gamma) (\alpha + \beta + \gamma) = \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 - 2\alpha^2\beta^2 - 2\beta^2\gamma^2 - 2\gamma^2\alpha^2 $

i otrzymujemy równanie

$ (x - a)^2 + (x - b)^2 +(x - c)^2 - 2(x - a)(x - b) - 2(x - b)(x - c) - 2 (x - c)(x - a) = 0, $

które po otwarciu nawiasów i uporządkowaniu przybiera postać

$ (5) \qquad 3x^2 - 2(a + b + c)x - (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc - 2ca) = 0. $

Oznaczając literą $\Delta$ wyróżnik równania (5) mamy

$ \begin{split} \frac{1}{4} \Delta &= (a + b + c)^2 + 3(a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc - 2ca) =\\ &= 4(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 2 [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c-a)^2], \end{split} $

skąd widzimy, że $\Delta > 0$ ; równanie (5) ma zatem dwa pierwiastki rzeczywiste.

Należy zbadać, czy pierwiastki te czynią zadość równaniu (1). Zauważmy, że jeżeli $x$ jest pierwiastkiem któregokolwiek z równań (1), (2), (3), (4), to $x$ spełnia też równanie (5), a w takim razie równanie (5) ma pierwiastek większy od każdej z liczb $a$ , $b$ , $c$ . Odwrotnie, jeżeli równanie (5) ma pierwiastek $x$ spełniający warunki $x > a$ , $x > b$ , $a > c$ , to $x$ jest pierwiastkiem któregoś z równań (1)-(4), gdyż lewą stronę równania (5) możemy wówczas przedstawić w postaci iloczynu lewych stron równań (1)-(4). Należy więc zbadać, czy któryś z pierwiastków równania (5) jest większy od $a$ , $b$ i $c$ . Niech $f(x)$ oznacza lewą stronę równania (5); łatwy rachunek daje

$ f(a) = - (b- c)^2,\ f(b) = -(a- c)^2,\ f(c) = -(a- b)^2. $

Na podstawie znanego twierdzenia o znaku trójmianu kwadratowego wnosimy stąd, że liczby $a$ , $b$ i $c$ leżą między pierwiastkami równania (5); żądany warunek spełnia zatem tylko większy pierwiastek równania (5) tj. liczba

$ (6) \qquad x_1= \frac{1}{3} \left[ (a + b + c) + 2 \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} \right]. $

Liczba $x_1$ wyrażona wzorem (6) spełnia, jak zauważyliśmy wyżej, jedno z równań (1)-(4). Otóż jeśli $c < a$ i $c < b$ , to liczba $x_1$ nie może spełniać żadnego z równań (2), (3), (4), gdyż wówczas $\sqrt{x_1 - c} > \sqrt{x_1 - a}$ i $\sqrt{x_1 - c} > \sqrt{x_1 - b}$ , zatem wartość lewej strony każdego z równań (2), (3), (4) jest dodatnia. Liczba $x_1$ jest więc pierwiastkiem równania (1).