V OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

Dane są punkty $A$ , $B$ , $C$ i $D$ nie leżące w jednej płaszczyźnie. Przeprowadzić przez punkt $A$ taką płaszczyznę, żeby rzut prostokątny czworokąta $ABCD$ na tę płaszczyznę był równołegłobokiem.

Rozwiązanie

Niech $B'$ , $C'$ , $D'$ będą odpowiednio rzutami prostokątnymi punktów $B$ , $C$ , $D$ na płaszczyznę a przechodzącą przez punkt $A$ . Rzutem środka $M$ odcinka $AC$ jest środek $M'$ odcinka $AC'$ , a rzutem środka $N$ odcinka $BD$ jest środek $N'$ odcinka $B'D'$ . Czworokąt płaski $AB'C'D'$ będący rzutem czworokąta $ABCD$ na płaszczyznę $\alpha$ jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy punkty $M'$ i $N'$ pokrywają się. Wówczas pokrywają się również proste rzutujące $MM'$ i $NN'$ , kierunkiem rzutowania jest zatem kierunek prostej $MN$ (punkty $M$ i $N$ są różne, gdyż punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ nie leżą w jednej płaszczyźnie). Szukaną płaszczyzną jest płaszczyzna poprowadzona przez punkt $A$ prostopadle do prostej $MN$ (rys. 36). Zadanie ma zawsze rozwiązanie i tylko jedno.

Uwaga. Z powyższego wynika, że proste $MN$ i $DE$ , o których mowa w sposobie 1 i 2, są równoległe. Łatwo to również uzasadnić bezpośrednio: punkt $M$ jako środek przekątnej $AC$ równoległoboku $ABCE$ jest również środkiem przekątnej $BE$ tego równoległoboku; prosta $MN$ przechodząca przez środki $M$ i $N$ boków $BE$ i $BD$ trójkąta $BDE$ jest równoległa do boku $DE$ tego trójkąta.