V OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

Dowieść, że jeżeli $x_1, x_2, \ldots, x_n$ są kątami zawartymi między $0^\circ$ i $180^\circ$ , a $n$ jest dowolną liczbą naturalną większą niż $1$ , to

$ (1) \qquad \sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) < \sin x_1 + \sin x_2 + \ldots + \sin x_n. $

Rozwiązanie

Udowodnimy twierdzenie ,,mocniejsze'', a mianowicie wykażemy, że jeżeli $0^\circ < x_i < 180^\circ$ dla $i = 1, 2, \ldots, n$ , przy czym $n \geq 2$ , to

$ (2) \qquad | \sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) | < \sin x_1 + \sin x_2 + \ldots + \sin x_n $

(Jeżeli $| a | < b$ , to $a < b$ (ale nie na odwrót), z nierówności (2) wynika więc nierówność (1)).

W dowodzie korzystać będziemy ze znanych własności wartości bezwzględnej:

$ | a + b | \leq | a | + | b |,\ | ab | = | a | \cdot | b | $

Dowód przeprowadzimy stosując zasadę indukcji zupełnej. Gdy $n = 2$ , twierdzenie jest prawdziwe, gdyż

$ \sin (x_1 + x_2) = \sin x_1 \cos x_2 + \cos x_1 \sin x_2, $

więc

Przypuśćmy, że dla pewnego $k \geq 2$

$ | \sin (x_1 + \ldots + x_k | < \sin x_1 + \sin x_2 + \ldots + \sin x_k $

i niech $0 < x_{k+1} < 180^\circ$ . Wówczas

$ \begin{split} | & \sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_k + x_{k+1}) | = \\ & = | \sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_k) \cos x_{k+1} + \cos (x_1 + x_2 + \ldots + x_k) \sin x_{k+1} | \leq \\ & \leq | \sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_k)| \cdot | \cos x_{k+1} | + | \cos (x_1 + x_2 + \ldots + x_k)| \cdot | \sin x_{k+1} | \leq \\ & \leq | \sin (x_1 + x_2 + \ldots + x_k)| + | \sin x_{k+1} | < \\ & < \sin x_1 + \sin x_2 + \ldots + \sin x_k + \sin x_{k+1}. \end{split} $

Na podstawie indukcji zupełnej wnioskujemy stąd, że twierdzenie (2) jest prawdziwe dla każdego $n \geq 2$ .