V OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

III

Dowieść, że w trapezie równoramiennym opisanym na kole odcinki łączące punkty styczności boków przeciwległych z kołem przechodzą przez punkt przecięcia przekątnych.

Rozwiązanie

Niech $E$ , $F$ , $G$ , $H$ oznaczają odpowiednio punkty styczności boków $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ z okręgiem wpisanym w trapez $ABCD$ .

Niech $M$ będzie punktem przecięcia odcinków $EG$ i $HF$ (rys. 37a). Ponieważ trapez $ABCD$ jest równoramienny, więc prosta $EG$ jest osią symetrii figury, przy czym punkt $F$ jest symetryczny do punktu $H$ i $HF \bot EG$ . Proste równoległe $AB$ , $HF$ i $DC$ wyznaczają na prostych $EG$ i $BC$ odcinki proporcjonalne, zatem

$ \frac{EM}{MG} = \frac{BF}{FC}. $

Niech $N$ będzie punktem przecięcia przekątnych $AC$ i $BD$ trapezu. Ponieważ te przekątne są symetryczne względem prostej $EG$ , więc punkt $N$ leży na odcinku $EG$ (rys. 37 b). Trójkąty $AEN$ i $CGN$ są jednokładne względem punktu $N$ , zatem