V OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

III

Jaki związek algebraiczny zachodzi między $A$ , $B$ i $C$ , jeżeli

$ (1) \qquad \ctg A + \frac{\cos B}{\sin A \cos C} = \ctg B + \frac{\cos A}{\sin B \cos C}. $

Rozwiązanie

Z równości (1) wynikają kolejno równości

$ \cos A \sin B \cos C + \sin B \cos B = \sin A \cos B \cos C + \sin A \cos A, $

$ (\cos A \sin B- \sin A \cos B) \cos C = \sin A \cos A - \sin B \cos B. $

$ \sin (B - A) \cos C = \frac{1}{2} (\sin 2 A - \sin 2 B), $

$ \sin (B - A) \cos C = \cos (A + B) \sin (A - B), $

$ \sin (A - B) [\cos (A + B) + \cos C] = 0, $

$ (2) \qquad \sin (A - B) \cos \frac{A + B + C}{2} \cos \frac{A + B - C}{2}= 0. $

Z równości (2) wynika alternatywa:

$ \sin (A - B) = 0 \textrm{ lub } \cos \frac{A + B + C}{2} = 0 \textrm{ lub } \cos \frac{A + B - C}{2} = 0 $

równoważna alternatywie:

$ A - B = k\pi \textrm{ lub } \frac{A + B + C}{2} = \frac{\pi}{2} + m\pi \textrm{ lub } \frac{A + B - C}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi, $

gdzie $k$ , $m$ , $n$ oznaczają liczby całkowite.

Uzyskaliśmy wynik: Jeśli zachodzi równość (1), to

$ (3) \qquad A - B = k\pi \textrm{ lub } A + B + C = (2m + 1)\pi \textrm{ lub } A + B - C = (2n + 1)\pi, $

gdzie $k$ , $m$ , $n$ są liczbami całkowitymi.

Zauważmy, że związki (3) nie wykluczają się wzajemnie; jeśli np. $A = B = \frac{\pi}{2}$ , $C = 0$ , to zachodzą wszystkie trzy związki.