V OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

III

Znaleźć wartości $x$ spełniające nierówność

$ (1) \qquad \sqrt{x} - \sqrt{x- a} > 2, $

gdzie $a$ jest daną liczbą dodatnią.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczba $x$ spełnia nierówność (1), wtedy $x \geq a$ , z nierówności (1) wynikają kolejno nierówności

$(2) \qquad \sqrt{x} > \sqrt{x - a} + 2,$

$(3) \qquad x > (\sqrt{x - a} + 2)^2 = x - a + 4 \sqrt{x - a} + 4,$

$(4) \qquad \sqrt{x - a} < \frac{a-4}{4}.$

Z nierówności (4) wynika, że $a > 4$ i że

$ (5) \qquad x - a < \left( \frac{a - 4}{4}, \right)^2, $

stąd

$ (6) \qquad x < \left( \frac{a-4}{4} \right)^2 + a, $

lub

$ (7) \qquad x < \left( \frac{a+4}{4} \right)^2. $

Jeśli więc liczba $x$ spełnia nierówność (1), to

$ (8) \qquad a > 4,\ a \leq x < \left( \frac{a+4}{4} \right)^2. $

Odwrotnie, jeśli spełnione są warunki (8), to zachodzi nierówność (1); istotnie, z nierówności (8) wynikają kolejno nierówności (7), (6), (5), (4), (3), (2) i wreszcie (1).

Fakt, że z nierówności (8) wynika nierówność (1), można by sprawdzić nieco inaczej: z nierówności (8) wynika, że

$ \sqrt{x} < \frac{a+4}{4},\ \sqrt{x-a} < \sqrt{\left( \frac{a+4}{4} \right)^2 - a } = \frac{a-4}{4}, $

zatem

$ \sqrt{x} + \sqrt{x - a} < \frac{a+4}{4} + \frac{a-4}{4} = \frac{a}{2}, $

stąd

$ (\sqrt{x} + \sqrt{x - a}) (\sqrt{x} - \sqrt{x - a}) < \frac{a}{2} (\sqrt{x}-\sqrt{x - a}) $

lub

$ a < \frac{a}{2} (\sqrt{x} - \sqrt{x - a}) $

i ostatecznie

$ \sqrt{x} - \sqrt{x - a} > 2. $

Uzyskaliśmy wynik: liczby spełniające nierówność (1) istnieją tylko wtedy, gdy $a > 4$ ; są to liczby określone nierównością

$ a \leq x < \left( \frac{a+4}{4} \right)^2. $