V OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ABCD$ krawędzie przeciwległe są równe, tj. $AB = CD$ , $AC = BD$ , $AD = BC$ , to proste przechodzące przez środki krawędzi przeciwległych są wzajemnie prostopadle i są osiami symetrii czworościanu.

Rozwiązanie

Niech $K$ , $L$ , $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ oznaczają środki krawędzi czworościanu $ABCD$ , jak wskazuje rys. 42. Wystarczy dowieść, że którakolwiek z prostych $KL$ , $MN$ , $PQ$ np. $KL$ jest osią symetrii czworościanu i że jest prostopadła do którejś z dwóch pozostałych prostych, np. do $PQ$ .

\spos{1} Ponieważ według założenia $AD = BC$ i $BD = AC$ , więc trójkąty $ABD$ i $ABC$ są przystające, gdyż mają odpowiednio równe boki, zatem środkowe $DK$ i $CK$ tych trójkątów są równe, wobec czego trójkąt $DKC$ jest równoramienny i środkowa $KL$ tego trójkąta jest jego wysokością, tj. $KL \bot DC$ ; analogicznie $KL \bot AB$ . Stąd wynika, że prosta $KL$ jest osią symetrii czworościanu, gdyż punkt $S$ jest symetryczny do punktu $A$ , a punkt $C$ jest symetryczny do punktu $D$ względem prostej $KL$ . Odcinek $BC$ jest symetryczny do odcinka $AD$ , zatem środek $Q$ odcinka $BC$ jest symetryczny do środka $P$ odcinka $AD$ . Prosta $PQ$ przechodząca przez punkty $P$ i $Q$ symetryczne względem prostej $KL$ przecina tę prostą i jest do niej prostopadła.