V OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

III

Wewnątrz obręczy o promieniu $2r$ toczy się po tej obręczy bez poślizgu krążek o promieniu $r$ . Jaką linię zakreśla punkt obrany dowolnie na brzegu krążka?

Rozwiązanie

Gdy krążek toczy się po obręczy, punkty brzegu krążka stają się jeden po drugim punktami styczności krążka z obręczą. Warunek toczenia się bez poślizgu oznacza, że długość łuku $PQ$ między dwoma punktami $P$ i $Q$ brzegu krążka równa się długości tego łuku obręczy, na który przy toczeniu się padną kolejno punkty łuku $PQ$ .

Ponieważ promień krążka jest dwa razy mniejszy od promienia obręczy, więc brzeg krążka przechodzi stale przez środek $O$ obręczy.

Obierzmy na brzegu krążka pewien określony punkt $P$ i niech przy początkowym położeniu krążka punkt $P$ znajduje się w punkcie $A$ obręczy (rys. 45).

Gdy krążek potoczy się w ten sposób, że punkt jego styczności z obręczą przebiegnie ćwiartkę $AB$ obręczy, odpowiednie punkty brzegu krążka, tj. te, które kolejno stykają się z obręczą w punktach łuku $AB$ , utworzą półokrąg; gdy więc punkt styczności krążka z obręczą dojdzie do punktu $B$ , punkt $P$ znajdzie się w punkcie $O$ . Wykażemy, że podczas tego ruchu punkt $P$ zakreśla promień $AO$ . W tym celu przypuśćmy, że w pewnej chwili krążek styka się z obręczą w punkcie $Q$ łuku $AB$ . Środek $S$ krążka jest wtedy środkiem odcinka $OQ$ . Punkt $P$ zajmuje wówczas takie położenie, że długości łuków $AQ$ i $QP$ (mniejszych od półokręgów) są równe. Stąd wynika, że

$ (1) \qquad \measuredangle AOQ = \frac{1}{2} \measuredangle PSQ. $

Z drugiej strony, na mocy twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta $\measuredangle PSQ = \measuredangle POS + \measuredangle OPS$ , a że $\measuredangle OPS = \measuredangle POS$ , więc

$ (2) \qquad \measuredangle POS =\frac{1}{2} \measuredangle PSQ. $

Z równości (1) i (2) otrzymujemy

$ \measuredangle POS = \measuredangle AOQ, $

zatem punkt $P$ leży na promieniu $AO$ .

Odwrotnie, jeśli $P'$ jest dowolnym punktem wewnętrznym odcinka $AO$ , to istnieje takie położenie krążka, przy którym punkt $P$ znajdzie się w punkcie $P'$ ; środek krążka leży wówczas w przecięciu symetralnej odcinka $OP'$ z tym łukiem okręgu o środku $O$ i promieniu $r$ , który leży w kącie $AOB$ .

Dowiedliśmy, że gdy krążek toczy się po ćwiartce $AB$ obręczy, punkt $P$ zakreśla promień $AO$ . Przy toczeniu się po ćwiartce $BC$ krążek przybiera położenia symetryczne do poprzednich względem prostej $OB$ ; punkt $P$ zakreśla zatem promień $OC$ symetryczny do $OA$ tj. tworzący wraz z $OA$ średnicę $AC$ obręczy. Przy toczeniu się po pozostałych ćwiartkach obręczy punkt $P$ zakreśli średnicę $CA$ , gdyż zajmuje wówczas położenia symetryczne do poprzednich względem prostej $AC$ .

Uzyskaliśmy wynik: przy toczeniu się krążka wewnątrz obręczy o dwa razy większym promieniu każdy punkt krążka zakreśla pewną średnicę tej obręczy.