LX OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

LX OM, 2008-2009

Etap:

Punkt $P$ jest środkiem krótszego łuku $BC$ okręgu opisanego na
trój kącie $ABC$ , w którym $\measuredangle BAC =60^{\circ}$ . Punkt $M$ jest środkiem
odcinka łączącego środki dwóch okręgów dopisanych do danego trójkąta,
stycznych odpowiednio do boków $AB$ i $AC$ . Wykazać, że $PM =2\cdot BP$

(Uwaga: Okrąg dopisany do trójkąta to okrąg styczny do jednego
z boków trójkąta oraz do przedłużeń dwóch pozostałych boków.)

Rozwiązanie

Niech $O_1$ i $O_2$ oznaczają środki okręgów dopisanych do
trójkąta $ABC$ stycznych odpowiednio do boków $AC$ i $AB$ , niech $I$
będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ oraz niech $D$ i $E$
będą odpowiednio punktami, w których proste $BI$ i $CI$ przecinają po
raz drugi okrąg o opisany na trójkącie $ABC$ (rys. 6).

Wówczas zachodzi równość $DI = DC$ (zob. LI Olimpiada Matematyczna,
Sprawozdanie Komitetu Głównego, Warszawa 2001, Dodatek E, str. 113),
zaś z drugiej strony kąt $\measuredangle ICO_11$ jest prosty, gdyż proste $CI$ i
$CO_1$ zawierają dwusieczne kątów odpowiednio wewnętrznego i
zewnętrznego trójkąta $ABC$ przy wierzchołku $C$ . Wynika stąd, że
punkt $D$ jest środkiem okręgu o średnicy $IO_1$ opisanego na
trójkącie prostokątnym $ICO_1$ . W szczególności $ID = DO_1$ .
Podobnie dowodzimy, że $EI = EB$ oraz $IE = EO_2$ .

Niech $M'$ oznacza drugi punkt przecięcia prostej $O_1O_2$
z okręgiem $o$ . (Jeżeli prosta ta jest styczna do okręgu o w punkcie
$A$ , to przyjmujemy $M' = A$ .) Udowodnimy, że punkty $M'$ i $M$
pokrywają się.

Punkty $A, I, P$ leżą na dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta
$ABC$ przy wierzchołku $A$ , a punkty $O_1, A, M', O_2$ — na
dwusiecznej kąta zewnętrznego przy tym wierzchołku. Dwusieczne te
są prostopadłe, zatem kąt $\measuredangle M'AP$ jest prosty. W efekcie odcinek
$M'P$ jest średnicą okręgu $o$ . (Nietrudno spostrzec, iż stwierdzenie
to zachowuje moc w przypadku, gdy $M' = A$ .)

Punkt $P$ jest środkiem krótszego łuku $BC$ okręgu $o$ , więc
punkt $M'$ jest środkiem dłuższego łuku $BC$ tego okręgu. Ponadto
krótsze łuki $CD$ i $DA$ mają jednakowe długości (z uwagi na to,
że punkt $D$ leży na dwusiecznej kąta $\measuredangle ABC$ ) i analogicznie krótsze
łuki $AE$ i $AB$ mają jednakowe długości. Te cztery łuki okręgu o
tworzą łącznie dłuższy łuk $BC$ , którego środkiem jest punkt $M'$ .
Stąd wniosek, że krótsze łuki $BE$ i $M'D$ mają równe długości oraz
krótsze łuki $CD$ i $M'E$ mają jednakowe długości. W konsekwencji
$M'D = EB = EI$ oraz $M'E = DC = DI$ , czyli czworokąt $EIDM'$ jest
równoległobokiem. Ponieważ punkty $D$ i $E$ są odpowiednio środkami
boków $IO_1$ i $IO_2$ trójkąta $IO_1O_2$ , więc punkt $M'$ jest
środkiem trzeciego boku $O_1O_2$ . Uzyskaliśmy w ten sposób równość
$M' = M$ .