IV OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

IV OM, 1952-1953

Etap:

Dowieść, że wysokości $h_1$ , $h_2$ , $h_3$ trójkąta i promienie $r_1$ , $r_2$ , $r_3$ kół dopisanych spełniają równość

$ \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}. $

Rozwiązanie

Podaną w zadaniu równość uzasadnimy wykazując, że każda z jej stron równa się tej samej funkcji boków trójkąta. Trzeba w tym celu skorzystać ze wzorów, które wysokości $h_1$ $h_2$ , $h_3$ i promienie $r_1$ , $r_2$ , $r_3$ wiążą z bokami trójkąta.

Używając znanych oznaczeń: $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , $2p = a + b + c$ , mamy

1° $ah_1 = 2S$ , skąd $\frac{1}{h_1} = \frac{a}{2S}$ i podobnie $\frac{1}{h_2} = \frac{b}{2S}$ oraz $\frac{1}{h_3} = \frac{c}{2S}$ , zatem

$ \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a + b + c}{2S} = \frac{p}{S}. $

2° $r_1 (p - a) = S$ , skąd $\frac{1}{r_1} = \frac{p-a}{S}$ i podobnie $\frac{1}{r_2} = \frac{p-b}{S}$ oraz $\frac{1}{r_3} = \frac{p-c}{S}$ , zatem

$ \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{p - a + p - b + p - c}{S} = \frac{p}{S}. $

Z równości 1° i 2° wynika równość żądana.

Uwaga. Powyższy dowód można zredagować krótko, jak następuje :

Równość żądana jest równoważna równości

$ \frac{S}{h_1} + \frac{S}{h_2} + \frac{S}{h_3} = \frac{S}{r_1} + \frac{S}{r_2} + \frac{S}{r_3}. $

Ale

$ \frac{S}{h_1} + \frac{S}{h_2} + \frac{S}{h_3} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = p, $

$ \frac{S}{r_1} + \frac{S}{r_2} + \frac{S}{r_3} = (p-a) + (p-b) + (p-c) = p, $

a to dowodzi równości (4).