IV OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

IV OM, 1952-1953

Etap:

Rozłożyć na czynniki wyrażenie

$ a (b-c)^3 +b (c- a)^3 + c (a - b)^3. $

Rozwiązanie

Przekształcamy dane wyrażenie porządkując je na przykład według potęg litery $a$ :

$ \begin{split} & a (b - c)^3 + b (c - a)^3 + c(a - b)^3 = (c - b) a^3 + 3 (bc - bc) a^2 + \\ & + [(b - c)^3 - 3 bc^2 + 3b^2c] a + (bc^3 - b^3c) = \\ & = (c - b) a^3 + (b^3 - c^3) a + bc (c^2 - b^2) = \\ & = (c - b) [a^3 - (b^2 + bc + c^2)a+ bc (b + c)] = \\ & = (c - b) [b^2 (c - a) + b (c^2 - ac) + (a^3 - ac^2)] =\\ & = (c - b) (c - a) [b^2 + bc - a (a + c)] =\\ & = (c - b) (c - a) [(b^2 - a^2) + (bc - ac)] =\\ & = (c - b) (c - a) (b - a) (a + b + c). \end{split} $