IV OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

IV OM, 1952-1953

Etap:

Dowieść, że jeżeli figura płaska ma dwie i tylko dwie osie symetrii, to te osie są prostopadłe.

Rozwiązanie

Twierdzenie będzie dowiedzione, gdy wykażemy, że jeżeli jakaś figura płaska ma dwie osie symetrii, które nie są prostopadłe, to ma jeszcze co najmniej jedną oś symetrii.

Przypuśćmy, że figura płaska $F$ ma dwie osie symetrii $k$ i $l$ , które nie są prostopadłe. Mogą się one przecinać (rys. 26) lub być równoległe (rys. 27). W obu przypadkach rozumowanie będzie takie samo. Niech $k'$ będzie prostą symetryczną do prostej $k$ względem prostej $l$ . Prosta $k'$ jest oczywiście różna od prostej $k$ i różna od prostej $l$ . Dowiedziemy, że prosta $k'$ jest osią symetrii figury $F$ .

Jeżeli do figury $F$ należy jakiś punkt $A$ , to należy do niej również punkt $B$ symetryczny do punktu $A$ względem osi $l$ , następnie punkt $C$ symetryczny do punktu $B$ względem osi $k$ , a dalej punkt $D$ symetryczny do punktu $C$ względem osi $l$ . Zauważmy, że odcinek $AD$ jest symetryczny do odcinka $BC$ względem osi $l$ , gdyż punkty $A$ i $D$ są odpowiednio symetryczne do punktów $B$ i $C$ względem tejże osi. W takim razie symetralna odcinka $AD$ jest symetryczna do symetrahaej odcinka $BC$ (tj. do prostej $k$ ) względem osi $l$ , tzn. symetralną odcinka $AD$ jest prosta $k'$ . Dowiedliśmy, że jeżeli do figury $F$ należy jakiś punkt $A$ , to należy do niej również punkt $D$ , symetryczny do punktu $A$ względem prostej $k'$ , czyli że $k'$ jest osią symetrii figury $F$ .