IV OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

IV OM, 1952-1953

Etap:

Dowieść, że gdy $n$ jest liczbą całkowitą wiekszą od $2$ , to

$ 2^{\frac{1}{2}n(n-1)} > n!. $

Rozwiązanie

Można bezpośrednio zastosować indukcję zupełną do dowodu nierówności

$ (1) \qquad 2^{\frac{1}{2}n(n-1)} > n! $

dla dowolnych liczb całkowitych $n > 2$ .

1° Gdy $n = 3$ , nierówność (1) jest prawdziwa, gdyż wówczas

$ 2^{\frac{1}{2}n(n-1)} = 2^3 = 8, \textrm{ a } n! = 6. $

2° Jeżeli nierówność (1) jest prawdziwa dla jakiegoś $k \geq 3$ , tj. jeżeli

$ 2^{\frac{1}{2}k(k-1)} > k!, $

$ 2^{\frac{1}{2}(k+1)k} = 2^{\frac{1}{2}k(k-1)+k} = 2^{\frac{1}{2}k(k-1)} \cdot 2^k > k! \cdot 2^k > k! (k+1) = (k+1)!, $

a więc

$ 2^{\frac{1}{2}(k+1)k} > (k+1)!. $

Z 1° i 2° wynika prawdziwość nierówności (1) dla każdego całkowitego $n \geq 3$ .