IV OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

IV OM, 1952-1953

Etap:

Dowieść, że jeżeli $a < b < c < d$ , to

$ (1) \qquad (a + b + c + d)^2 > 8 (ac + bd). $

Rozwiązanie

Uporządkujmy wyrażenie $m = (a + b + c + d)^2 - 8ac - 8bd$ według potęg jednej z liter, np. litery $a$ :

$ m = a^2 + 2 (b - 3c + d)a + [(b + c + d)^2 - 8bd], $

i obliczmy wyróżnik otrzymanej funkcji kwadratowej:

$ \begin{split} \frac{1}{4} \Delta &= (b - 3c + d)^2 - (b + c + d)^2 + 8bd= (2b - 2c + 2d) (-4c) + 8 bd =\\ &= 8 (bd - bc + c^2 - cd) = 8 (b - c) (d - c). \end{split} $

Gdy $b < c < d$ lub $d < c < b$ , to $\Delta < 0$ , zatem $m > 0$ .