IV OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

IV OM, 1952-1953

Etap:

Dane są dwie proste skośne $m$ i $n$ . Na prostej $m$ odmierzono odcinek $AB$ o danej długości $a$ , a na prostej $n$ odmierzono odcinek $CD$ o danej długości $b$ . Dowieść, że objętość czworościanu $ABCD$ nie zależy od położenia odcinków $AB$ i $CD$ na prostych $m$ i $n$ .

Rozwiązanie

Figurę utworzoną przez dwie proste skośne $m$ i $n$ najdogodniej przedstawić na rysunku przy pomocy rzutów na dwie płaszczyzny wzajemnie prostopadłe. Za rzutnię poziomą obierzemy dowolną płaszczyznę równoległą do obu prostych $m$ i $n$ (rys. 33). Rzutami pionowymi danych prostych będą wówczas proste równoległe $m''$ i $n''$ , których, odległość $l$ równa się odległości prostych skośnych $m$ i $n$ . Rzuty poziome $m'$ i $n'$ będą dwiema przecinającymi się prostymi, tworzącymi kąt $\varphi$ równy kątowi między prostymi skośnymi $m$ i $n$ . Rzuty poziome odcinków $AB$ i $CD$ równoległych do rzutni poziomej, mają długości $A'B' = a$ i $C'D' = b$ .

Aby obliczyć objętość czworościanu $ABCD$ , rozważymy najpierw pewien równoległościan ,,opisany'' na tym czworościanie, a mianowicie równoległościan, dla którego odcinki $AB$ i $CD$ są przekątnymi dwóch ścian przeciwległych. Drugimi przekątnymi tychże ścian równoległościanu są: odcinek $EF = b$ , równoległy do odcinka $CD$ i mający z odcinkiem $AB$ wspólny środek $M$ , oraz odcinek $GH = a$ , równoległy do odcinka $AB$ i mający wspólny środek $N$ z odcinkiem $CD$ .

Objętość $V$ zbudowanego w ten sposób równoległościanu równa się iloczynowi pola ściany $AEBF$ przez jej odległość od ściany przeciwległej, tj. przez $d$ .

Ale pole równolegloboku $AEBF$ , którego przekątne mają długości $a$ i $b$ i tworzą kąt $\varphi$ , równa się $\frac{1}{2} ab \sin \varphi$ ; zatem $V = \frac{1}{2} abd \sin \varphi$ .

Czworościan $ABCD$ powstaje z równoległościanu przez obcięcie czterech narożnych czworościanów $EABC$ , $FABD$ , $GACD$ , $HBCD$ (rys. 34). Objętość każdego z tych czworościanów, których podstawy są dwa razy mniejsze od podstaw równoległościanu, a wysokości są równe $d$ , wynosi $\frac{1}{6} V$ .

Zatem objętość czworościanu równa się $\frac{1}{3} V = \frac{1}{6} abd \sin \varphi$ , jest więc zależna tylko od długości $a$ , $b$ , $d$ i kąta $\varphi$ , a nie zależy od położenia odcinków $AB$ i $CD$ na prostych $m$ i $n$ .