IV OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

IV OM, 1952-1953

Etap:

Dowieść, że jeżeli $A + B + C$ lub $A + B - C$ lub $A - B + C$ lub $A - B - C$ równa się nieparzystej ilości kątów półpełnych, to $\cos^2A + \cos^2B + \cos^2C + 2 \cos A \cos B \cos C = 1$ i że prawdziwe jest twierdzenie odwrotne.

Rozwiązanie

\spos{1} Mamy dowieść, że

$ (1) \qquad \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \cos A \cos B \cos C - 1 = 0. $

Zadanie można rozwiązać w sposób bardzo prosty, gdy się zauważy że równanie $x = (2k + 1) \cdot 180^\circ$ jest równoważne równaniu $\cos \frac{x}{2} = 0$ . Warunek konieczny i dostateczny, żeby jeden z kątów $A + B+C$ , $A + B - C$ , $A-B+C$ , $A - B-C$ równał się nieparzystej wielokrotności kąta półpełnego, można więc wyrazić następującym równaniem (2)

$ \cos \frac{A + B + C}{2} \cos \frac{A + B - C}{2} \cos \frac{A - B + C}{2} \cos \frac{A - B - C}{2}= 0. $

Zadanie sprowadza się zatem do wykazania, że równość (1) jest równoważna równości (2). Osiągniemy to przekształcając lewą stronę równości (2) przy użyciu znanych wzorów na sumy i iloczyny funkcyj trygonometrycznych:

$ \begin{split} & \cos \frac{A + B + C}{2} \cos \frac{A + B - C}{2} \cos \frac{A - B + C}{2} \cos \frac{A - B - C}{2}= \\ & = \frac{1}{4} [\cos (A + B) + \cos C] \cdot [\cos (A - B) + \cos C] =\\ & = \frac{1}{4} [\cos (A+B) \cos (A-B) + \cos (A+B) \cos C + \cos (A - B)\cos C+ \cos^2 C] = \\ & = \frac{1}{4} (\cos^2 A \cos^2 B - \sin^2 A \sin^2 B + 2 \cos A \cos B \cos C + \cos^2 C) = \\ & = \frac{1}{4} (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \cos A \cos B \cos C -1). \end{split} $

Okazało się, że lewa strona równości (2) jest tożsamościowo równa $\frac{1}{4}$ lewej strony równości (1). Równości te są więc równoważne, a stąd wynika, że równość (1) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z kątów $A + B + C$ , $A + B - C$ , $A - B + C$ , $A - B - C$ jest nieparzystą wielokrotnością kąta półpełnego.