IV OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

IV OM, 1952-1953

Etap:

Dana jest prosta $p$ oraz punkty $A$ i $B$ leżące po przeciwnych stronach tej prostej. Poprowadzić przez punkty $A$ i $B$ taki okrąg, żeby jego cięciwa położona na prostej $p$ była jak najkrótsza.

Rozwiązanie

Niech $M$ oznacza punkt przecięcia prostych $AB$ i $p$ i niech okrąg przechodzący przez punkty $A$ i $B$ przecina prostą $p$ w punktach $C$ i $D$ (rys. 35).

Cięciwa $CD$ jest sumą odcinków $CM$ i $MD$ , których iloczyn, na mocy twierdzenia o przecinających się cięciwach okręgu, równa się iloczynowi danych odcinków $AM$ i $MB$ . Z arytmetyki wiemy, że suma liczb dodatnich mających dany iloczyn jest najmniejsza wtedy, gdy te liczby są równe. Cięciwa $CD$ jest zatem najkrótsza, gdy $CM = MD$ , tj. gdy punkt $M$ jest środkiem tej cięciwy. Środek szukanego okręgu leży więc na prostopadłej poprowadzonej do prostej $p$ prżez punkt $M$ . Ponieważ środek tego okręgu musi też leżeć na symetralnej cięciwy $AB$ , więc wyznaczamy go jako punkt przecięcia dwóch wymienionych prostych. Zadanie ma zawsze rozwiązanie i to tylko jedno.