IV OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

II OM, 1950-1951

Etap:

Dowieść, że równanie

$ (1) \qquad (x - a) (x - c) + 2 (x - b) (x - d) = 0, $

w którym $a < b < c < d$ , ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę lewą stronę równania (1), tj. funkcję kwadratową

$ (2) \qquad (x - a) (x - c) + 2 ( x - b) (x - d). $

Wiemy z algebry, że funkcja kwadratowa ma wtedy i tylko wtedy dwa pierwiastki (inaczej: miejsca zerowe) rzeczywiste, jeśli przybiera zarówno wartości dodatnie, jak ujemne. Otóż jeżeli $x$ jest większe od każdej z liczb $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , to każda z różnic $x - a$ , $x - b$ , $x - c$ , $x - d$ jest dodatnia i funkcja (2) ma wartość dodatnią. Łatwo wskazać taką wartość $x$ , dla której ta funkcja jest ujemna; gdy na przykład $x = b$ , funkcja (2) ma wartość

$ (b -a)(b- c), $

która jest ujemna, gdyż według założenia $b - a>0$ , a $b - c < 0$ . Twierdzenie zostało tym samym udowodnione.

Uwaga 1. Z powyższego dowodu widać, że zamiast założenia $a < b < c < d$ wystarczy przyjąć, że $a < b < c$ .

Podobnie wystarczyłoby założenie $b < c < d$ , gdyż wówczas podstawiając do (2) wartość $x = c$ otrzymalibyśmy liczbę ujemną $(c - b) (c - d)$ . Zauważmy ponadto, że wartość wyrażenia (2) nie ulega zmianie, gdy przestawimy litery $a$ i $c$ , a także gdy przestawimy litery $b$ i $d$ . Możemy wobec tego wypowiedzieć twierdzenie mocniejsze od powyższego:

Jeżeli któraś z liczb $b$ i $d$ leży między liczbami $a$ i $c$ lub któraś z liczb $a$ i $c$ leży między liczbami $b$ i $d$ , to równanie (1) ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Twierdzenie to pozostanie prawdziwe, gdy w równaniu (1) współczynnik $2$ zastąpimy dowolną liczbą dodatnią $k$ ; dowód powyższy nie wymaga zmiany. Inaczej będzie, gdy zamiast współczynnika $2$ weźmiemy liczbę ujemną. Proponujemy Czytelnikowi rozpatrzenie tego przypadku i wyszukanie warunku dostatecznego rzeczywistości pierwiastków równania.

Uwaga 2. Inny, aczkolwiek znacznie dłuższy dówód twierdzenia można wysnuć z rozważania wyróżnika równania (1):

$ \Delta = (a + c + 2b + 2d)^2 - 12 (ac + 2bd). $

Wzorując się na rozwiązaniu zadania nr 24 wykażemy z łatwością, że gdy któraś z liczb $a$ i $c$ leży między liczbami $b$ i $d$ lub któraś z liczb $b$ i $d$ leży między liczbami $a$ i $c$ , to $\Delta > 0$ .