IV OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

IV OM, 1952-1953

Etap:

Obliczyć objętość $V$ czworościanu $ABCD$ mając daną długość $d$ krawędzi $AB$ oraz pole $S$ rzutu czworościanu na płaszczyznę prostopadłą do prostej $AB$ .

Rozwiązanie

Poprowadźmy przez wierzchołek $A$ czworościanu $ABCD$ płaszczyznę $\alpha$ prostopadłą do krawędzi $AB$ (rys. 37) a przez punkty $C$ i $D$ poprowadźmy równoległe do prostej $AB$ aż do przecięcia z płaszczyzną $\alpha$ w punktach $C'$ i $D'$ . Rzutem prostokątnym czworościanu $ABCD$ na płaszczyznę $\alpha$ będzie trójkąt $AC'D'$ .

Objętość $V$ czworościanu $ABCD$ równa się objętości czworościanu $ABCD'$ , gdyż oba, czworościany mają tę samą podstawę $ABC$ , a prosta $DD'$ , na której leżą ich wierzchołki, jest równoległa do prostej $AB$ , więc jest też równoległa do płaszczyzny $ABC$ . Podobnie objętość czworościanu $ABCD'$ równa się objętości czworościanu $ABC'D'$ , gdyż wierzchołki $C$ i $C'$ tych czworościanów leżą na równoległej do ich wspólnej podstawy $ABD'$ . Zatem objętość czworościanu $ABCD$ równa się objętości czworościanu $ABC'D'$ . Ponieważ $AB \bot \alpha$ , więc

$ \textrm{objętość }ABC'D' = \frac{1}{3} (\textrm{pole }AC'D') \cdot AB = \frac{1}{3} Sd $

i ostatecznie

$ V = \frac{1}{3} Sd. $