IV OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

IV OM, 1952-1953

Etap:

III

Zbadać, czy równanie

$ (1) \qquad \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} + \frac{1}{x - c} = 0, $

gdzie $a$ , $b$ , $c$ oznaczają dane liczby rzeczywiste, ma pierwiastki rzeczywiste.

Rozwiązanie

Każda liczba $x$ spełniająca równanie (1) musi też spełniać równanie

$ (2) \qquad (x - b) (x - c) + (x - c) (x - a) + (x -a) (x- b) = 0, $

otrzymane z równania (1) przez pomnożenie obu stron przez $(x - a) (x - b) (x - c)$ .

Odwrotnie, każdy pierwiastek $x$ równania (2), różny od $a$ , $b$ i $c$ , jest pierwiastkiem równania (1), gdyż dzieląc równość (2) przez różną od zera liczbę $(x - a) (x - b) (x - c)$ otrzymujemy równość (1). Biorąc pod uwagę, że żadna z liczb $a$ , $b$ , $c$ nie jest pierwiastkiem równania (1), widzimy, że pierwiastkami równania (1) są te pierwiastki równania (2), które nie są równe żadnej z liczb $a$ , $b$ , $c$ . Zbadamy wobec tego równanie (2), przy czym rozróżnimy trzy przypadki.

Przypadek 1. Liczby $a$ , $b$ , $c$ są różne, niech na przykład $a < b < c$ . Lewa strona równania (2) jest funkcją kwadratową zmiennej $x$ ; oznaczymy tę funkcję symbolem $f(x)$ :

$ (3) \qquad f(x) = (x - b) (x - c) + (x - c) (x - a) + (x - a) (x - b). $

Obliczymy wartości funkcji $f(x)$ , gdy $x$ równa się $a$ , $b$ , lub $c$ . Ze wzoru (3) otrzymujemy

$f (a) = (a - b) (a - c),$

$f (b) = (b - c) (b - a),$

$f (c) = (c - a) (c - b).$

Liczby $f (a)$ i $f (c)$ są dodatnie, gdyż są iloczynami liczb tego samego znaku; natomiast liczba $f(b)$ jest ujemna, gdyż $b - c < 0$ , a $b - a > 0$ . A zatem funkcja kwadratowa $f(x)$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste, z których jeden leży między $a$ i $b$ , drugi zaś między $b$ i $c$ .

Te same pierwiastki ma równanie (1). Równania (1) i (2) są w rozpatrywanym przypadku równoważne.

Przypadek 2. Dwie spośród liczb $a$ , $b$ , $c$ są równe; niech np. $a = b$ , ale $a \ne c$ . Równanie (2) przybiera postać

$ (x - a) (x - c + x - c + x - a) = 0, $

czyli

$ (x - a) (3x - 2c - a) = 0, $

skąd widzimy, że ma ono pierwiastki $a$ i $\frac{a + 2c}{3}$ . Wobec tego, że $a \ne c$ ; drugi pierwiastek nie równa się ani $a$ , ani $c$ . Równanie (1) ma w tym przypadku tylko jeden pierwiastek równy $\frac{a + 2c}{3}$ , gdyż $a$ odpada.

Przypadek 3. Liczby $a$ , $b$ i $c$ są równe. Równanie (2) przybiera postać

$ 3 (x - a)^2 = 0 $

i ma pierwiastek podwójny $x = a$ . Równanie (1) w tym przypadku nie ma pierwiastków.

Uwaga. Dowód, że w przypadku 1 równanie (2) ma dwa pierwiastki rzeczywiste, można przeprowadzić wykazując, że jego wyróżnik $\Delta$ jest dodatni. Piszemy w tym celu równanie (2) w postaci

$ 3x^2 - 2 (a + b + c) x + (ab + bc + ca) = 0 $

i obliczamy

$ \begin{split} & \frac{1}{4} \Delta = (a + b + c)^2 - 3 (ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \\ & = \frac{1}{2} (2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca) = \frac{1}{2} [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] > 0. \end{split} $