IV OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

III

Znaleźć miejsce geometryczne środka prostokąta, którego wierzchołki leżą na obwodzie danego trójkąta.

Rozwiązanie

Wyznaczymy najpierw miejsce geometryczne środka $L$ prostokąta $EFGH$ , którego dwa wierzchołki $E$ i $F$ leżą na boku $AB$ trójkąta $ABC$ , wierzchołek $G$ na boku $BC$ , a wierzchołek $H$ na boku $AC$ . Prostokąty takie istnieją tylko wtedy, gdy żaden z kątów $A$ i $B$ trójkąta nie jest rozwarty. W dalszym ciągu przyjmiemy, że oba kąty $A$ i $B$ są ostre; w przypadku, gdy jeden z nich jest prosty rozważania poniższe wymagają drobnej modyfikacji, co pozostawiamy Czytelnikowi.

Punkt $L$ , którego miejsca geometrycznego szukamy, jest środkiem odcinka $PQ$ łączącego środki boków $EH$ i $FG$ prostokąta (rys. 41). Poprowadźmy wysokość $CD$ trójkąta $ABC$ .

Ponieważ trójkąty $AEH$ i $ADC$ są jednokładne względem punktu $A$ , a trójkąty $BFG$ i $BDC$ są jednokładne względem punktu $B$ , więc proste $AP$ i $BQ$ przechodzą przez środek $T$ odcinka $CD$ . Trójkąty $PQT$ i $ABT$ są jednokładne względem punktu $T$ , zatem prosta $TL$ przechodzi przez środek $S$ odcinka $AB$ . A zatem środek $L$ prostokąta $EFGH$ leży wewnątrz odcinka $ST$ łączącego środek boku $AB$ ze środkiem wysokości $CD$ trójkąta $ABC$ .

Odwrotnie, każdy punkt $L$ leżący wewnątrz odcinka $ST$ jest środkiem pewnego prostokąta $EFGH$ o rozważanym położeniu. Istotnie, wykreślając przez punkt $L$ odcinek $PQ$ jednokładny do odcinka $AB$ względem punktu $T$ , a następnie prowadząc przez punkty $P$ i $Q$ odcinki $EH$ i $FG$ jednokładne do odcinka $CD$ odpowiednio względem punktów $A$ i $B$ , otrzymujemy czworokąt $EFGH$ , przy czym z własności odcinków jednokładnych wynika, że $P$ i $Q$ są środkami odcinków $EH$ i $FG$ , a punkt $L$ jest środkiem odcinka $PQ$ , skąd wnioskujemy, że $EFGH$ jest prostokątem, a punkt $L$ jest jego środkiem. Poszukiwanym miejscem geometrycznym jest wnętrze odcinka $ST$ .

Ustaliliśmy dotychczas wynik następujący:

Miejscem geometrycznym środka $L$ prostokąta, którego dwa wierzchołki leżą na boku $AB$ trójkąta $ABC$ , a dwa pozostałe wierzchołki leżą na bokach $AC$ i $BC$ , jest wnętrze odcinka łączącego środek boku $AB$ ze środkiem odpowiedniej wysokości trójkąta.

Gdy dany trójkąt jest ostrokątny, twierdzenie powyższe zachodzi dla każdego z trzech jego boków. Miejsce geometryczne, o którym mówi tekst zadania, składa się wtedy z wnętrz trzech odcinków łączących środki boków trójkąta ze środkami odpowiednich wysokości. Dowiedziemy, że te trzy odcinki przecinają się w jednym punkcie.

Przyjmiemy oznaczenia punktów według rysunku 44: $D$ , $E$ , $F$ są spodkami wysokości, $M$ , $N$ , $P$ - środkami boków, a $Q$ , $R$ , $S$ - środkami wysokości trójkąta $ABC$ . Stosując do tego trójkąta i jego trzech wysokości twierdzenie Cevy otrzymujemy

$ \frac{AF \cdot BD \cdot CE}{FB \cdot DC \cdot EA} = 1 $

(Patrz: Zadania z Trzeciej Olimpiady Matematycznej, zadanie nr 23 str. 51.)
Ponieważ boki trójkąta $MNP$ są równoległe do odpowiednich boków trójkąta $ABC$ , więc

$ \frac{NS}{SM} = \frac{AF}{FB},\ \frac{PQ}{QN} = \frac{BD}{DC},\ \frac{MR}{RP} = \frac{CE}{EA}, $

wobec czego

$ \frac{NS \cdot PQ \cdot MR}{SM \cdot QN \cdot RP} = 1. $

Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy, wnioskujemy z tej równości, że proste $MQ$ , $NR$ i $PS$ przecinają się w jednym punkcie.

Gdy dany trójkąt jest prostokątny, dwa z trzech odcinków stanowiących omawiane miejsce geometryczne pokrywają się i mamy figurę rysunku 45.

W trójkącie rozwartokątnym naszym miejscem geometrycznym jest wnętrze jednego odcinka.