IV OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

IV OM, 1952-1953

Etap:

III

Przez każdy wierzchołek czworościanu o danej objętości $V$ poprowadzono płaszczyznę równoległą do przeciwległej ściany czworościanu. Obliczyć objętość czworościanu utworzonego przez te płaszczyzny.

Rozwiązanie

Aby sobie ułatwić znalezienie rozwiązania, rozważmy najpierw analogiczne zadanie na płaszczyźnie:

Poprowadźmy przez każdy wierzchołek trójkąta $ABC$ prostą równoległą do przeciwległego boku trójkąta. Te proste tworzą trójkąt $A_1B_1C_1$ jednokładny do trójkąta $ABC$ (rys. 46). Środkiem jednokładności jest punkt $S$ , w którym przecinają się proste $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ ; punkt $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC$ , a także trójkąta $A_1B_1C_1$ . Jednokładność jest odwrotna, gdyż odpowiadające sobie punkty, np. $A$ i $A_1$ , leżą na półprostych $SA$ i $SA_1$ o kierunkach przeciwnych. Stosunek jednokładności jest

$<br /> \frac{SA_1}{SA} = \frac{A_1B_1}{AB} = 2.<br />$

Ponieważ stosunek pól figur jednokładnych równa się kwadratowi stosunku jednokładności, więc pole trójkąta $A_1B_1C_1$ jest $4$ razy większe od pola trójkąta $ABC$ , co zresztą jest widoczne bezpośrednio.

Powracając do właściwego tematu przypomnimy krótko własności figur jednokładnych w przestrzeni. Niech będzie dana w przestrzeni figura $F$ , której punktami są $A, B, C, \ldots$ Obierzmy dowolny punkt $S$ oraz liczbę dodatnią $k$ . Gdy na półprostych $SA, SB, SC, \ldots$ odmierzymy odcinki $SA' = k \cdot SA, SB' = k \cdot SB, SC' = k \cdot SC, \ldots$ , punkty $A', B', C', \ldots$ utworzą figurę $F'$ jednokładną wprost do figury $F$ względem punktu $S$ w stosunku $k$ . Jeżeli zaś odmierzymy takie same odcinki $SA_1 = k \cdot SA, SB_1 = k \cdot SB, SC_1 = k \cdot SC, \ldots$ na przedłużeniach półprostych $SA, SB, SC, \ldots$ , to otrzymamy figurę $F_1$ jednokładną odwrotnie do figury $F$ względem punktu $S$ w stosunku $k$ (rys. 47). Z tej definicji łatwo wynika, że figurą jednokładną do odcinka $AB$ jest odcinek $A_1B_1$ , przy czym proste $AB$ i $A_1B_1$ są równoległe (lub pokrywają się, co ma miejsce wtedy, gdy prosta $AB$ przechodzi przez punkt $S$ ). Figurą jednokładną do trójkąta $ABC$ jest wobec tego trójkąt $A_1B_1C_1$ , przy czym płaszczyzny trójkątów są równoległe (lub pokrywają się w przypadku, gdy płaszczyzna $ABC$ zawiera punkt $S$ ). Figurą jednokładną do czworościanu $ABCD$ jest czworościan $A_1B_1C_1D_1$ . Stosunek odcinków jednokładnych równa się stosunkowi jednokładności, stosunek pól trójkątów (lub ogólnie: figur płaskich) jednokładnych równa się kwadratowi stosunku jednokładności, a stosunek objętości - czworościanów (ogólnie: brył) jednokładnych równa się sześcianowi stosunku jednokładności.

Do rozwiązania zadania potrzebne będzie jeszcze twierdzenie:

Odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami ciężkości przeciwległych ścian przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdy z tych odcinków w stosunku $3 \colon 1$ .

Dowód tego twierdzenia jest prosty; wystarczy go przeprowadzić dla jednej pary owych odcinków. Niech $M$ będzie środkiem ciężkości ściany $BCD$ , a $N$ - środkiem ciężkości ściany $ACD$ czworościanu $ABCD$ (rys. 47). Proste $BM$ i $AN$ przecinają się w środku $P$ krawędzi $CD$ .

Odcinki $AM$ i $BN$ łączące wierzchołki $A$ i $B$ trójkąta $ABP$ z punktami $M$ i $N$ boków $BP$ i $AP$ przecinają się w punkcie $S$ wewnątrz tego trójkąta. Ponieważ $AP = 3 \cdot NP$ i $BP = 3 \cdot MP$ , więc $MN \parallel AB$ i $AB = 3 MN$ ; stąd wynika, że $AS = 3 \cdot SM$ i $BS = 3 \cdot SN$ , czego mieliśmy dowieść. Punkt $S$ jest środkiem ciężkości czworościanu.

Stosując powyższe wiadomości możemy rozwiązanie zadania ująć krótko: Budujemy figurę odwrotnie jednokładną w stosunku $3$ do czworościanu $ABCD$ względem jego środka ciężkości $S$ . Figurą tą jest czworościan $A_1B_1C_1D_1$ , którego wierzchołki leżą na przedłużeniach półprostych $SA$ , $SB$ , $SC$ , $SD$ , przy czym $SA_1 = 3 \cdot SA$ , $SB_1 = 3 \cdot SB$ , $SC_1 = 3 \cdot SC$ , $SD_1 = 3 \cdot SD$ .

Płaszczyzna $B_1C_1D_1$ jest równoległa do odpowiedniej płaszczyzny $BCD$ , a przy tym przechodzi przez wierzchołek $A$ , gdyż z równości $AS = 3 \cdot SM$ wynika, że punkt $A$ jest punktem jednokładnym do punktu $M$ ściany $BCD$ . A zatem czworościan $A_1B_1C_1D_1$ jest tym czworościanem, o którym mowa w zadaniu. Ponieważ jest on jednokładny do czworościanu $ABCD$ w stosunku $3$ , więc jego objętość wynosi $3^3 \cdot V$ , czyli $27 V$ .