IV OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

IV OM, 1952-1953

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczbą naturalną, to zachodzi równość

$ (1) \qquad (\sqrt{2}- 1)^n = \sqrt{m} - \sqrt{m-1}, $

gdzie $m$ jest liczbą naturalną.

Rozwiązanie

Dowiedziemy najpierw, że dla każdego naturalnego $n$ można napisać równość

$ (1 - \sqrt{2})^n = \sqrt{a^2} - \sqrt{2 b^2}, $

gdzie $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi spełniającymi równość

$ a^2 - 2b^2 = (-1)^n. $

Dowód. Dla $n = 1$ twierdzenie jest prawdziwe, mianowicie należy wziąć $a = b = 1$ . Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego $n$ ; wówczas

$ \begin{split} (1 - \sqrt{2})^{n+1} & = (1 - \sqrt{2})^n \cdot (1 - \sqrt{2}) = (\sqrt{a^2} - \sqrt{2b^2}) (1 - \sqrt{2}) = \\ & = (a - b \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2}) = (a + 2b) - (a + b) \sqrt{2} = \\ & = \sqrt{(a + 2b)^2} - \sqrt{2(a + b)^2} = \sqrt{a_1^2} - \sqrt{2b_1^2}, \end{split} $

gdzie $a_1$ i $b_1$ są liczbami naturalnymi i

$ a_1^2 - 2b_1^2 = (a + 2b)^2 - 2 (a + b)^2 = - a^2 + 2b^2 = - (a^2 - 2b^2) = (- 1)^{n+1}, $

twierdzenie jest zatem, prawdziwe również dla wykładnika $n + 1$ . Na podstawie indukcji zupełnej wnioskujemy stąd, że twierdzenie jest prawdziwe dla każdego naturalnego $n$ .