IV OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

IV OM, 1952-1953

Etap:

III

Jaki związek algebraiczny zachodzi między $\alpha$ , $\beta$ i $\gamma$ , gdy spełniona jest równość

$ (1) \qquad \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma? $

Rozwiązanie

Równość (1) możemy napisać w postaci

$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}. $

Stąd wynika, że

$ \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma = 0, $