III OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

III

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + z^2 = 19^2\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0\\ x - y + z = 11. \end{array} \right. $

Rozwiązanie

Mnożąc drugie równanie danego układu:

$ (*) \qquad \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 $

przez iloczyn $xyz$ , otrzymujemy równanie

$ (**) \qquad xy + yz + zx = 0. $

Jeśli w układzie równań (1) zamiast równania (*) weźmiemy równanie (**), to otrzymamy układ równań

$ (2) \qquad \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + z^2 = 19^2\\ xy + yz + zx = 0\\ x - y + z = 11. \end{array} \right. $

Wykażemy, że układ równań (2) jest równoważny układowi (1). W samej rzeczy, każdy zespół liczb $x$ , $y$ , $z$ spełniający równanie (*) spełnia też równanie (**), a więc każdy zespół liczb $x$ , $y$ , $z$ spełniający układ (1) spełnia też układ (2). A czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe? Otóż rozwiązaniem równania (**) jest każdy zespół liczb $x$ , $y$ , $z$ spełniających równanie (*), a prócz tego każdy zespół liczb, w którym dwie są równe zeru, a trzecia jest dowolna; ponieważ zespoły drugiego rodzaju nie spełniają dwóch pozostałych równań układu (2), przeto dochodzimy do wniosku, że każdy zespół liczb $x$ , $y$ , $z$ spełniający układ równań (2) spełnia też układ równań (1). W ten sposób dowiedliśmy równoważności układów (1) i (2).

Przekształćmy układ równań (2). Mnożąc drugie równanie przez $2$ i dodając stronami do pierwszego równania otrzymujemy równoważny z układem II układ

$ (3) \qquad \left\{ \begin{array}{l} (x + y + z)^2 = 19^2\\ xy + yz + zx = 0\\ x - y + z = 11. \end{array} \right. $

Układ ten można zastąpić alternatywą

$ (3a )\qquad \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 19\\ xy + yz + zx = 0\\ x - y + z = 11 \end{array} \right. \textrm{lub } (3b) \qquad \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = - 19\\ xy + yz + zx = 0\\ x - y + z = 11. \end{array} \right. $

A. Rozważmy układ równań (3a). Odejmując od pierwszego równania trzecie, otrzymujemy $y = 4$ ; podstawiając tę wartość w drugim oraz trzecim równaniu otrzymujemy układ równań