III OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

Wykazać, że jeżeli

$ (1) \qquad \frac{a-b}{1+ab} + \frac{b-c}{1+bc} + \frac{c-a}{1+ca} = 0, $

to co najmniej dwie spośród liczb $a$ , $b$ , $c$ są równe.

Rozwiązanie

Budowa składników lewej strony równania (1) przywodzi na myśl wzór na tangens różnicy dwóch kątów, co prowadzi do rozwiązania zadania z użyciem trygonometrii. Możemy napisać

$ a = \tg \alpha, b = \tg \beta, c = \tg \gamma, $

gdzie $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ są określonymi kątami zawartymi wewnątrz przedziału od $- 90^\circ$ do $90^\circ$ . Równanie (1) przybiera postać

$ \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} + \frac{\tg \beta - \tg \gamma}{1 + \tg \beta \tg \gamma} + \frac{\tg \gamma - \tg \alpha}{1 + \tg \gamma \tg \alpha} = 0 $

lub

$ (5) \qquad \tg (\alpha - \beta) +\tg (\beta - \gamma) + \tg (\gamma - \alpha) = 0, $

przy czym każdy z kątów $\alpha - \beta$ , $\beta - \gamma$ , $\gamma - \alpha$ zawiera się wewnątrz przedziału od $- 180^\circ$ do $180^\circ$ .

Stosując we wzorze (5) do sumy pierwszych dwóch składników wzór

$ \tg m + \tg n = \tg (m + n) (1 - \tg m \tg n) $

otrzymujemy

$ \tg (\alpha - \gamma) [1 - \tg (\alpha - \beta) \tg (\beta - \gamma)]+ \tg (\gamma - \alpha) = 0, $

a stąd

$ (6) \qquad \tg (\alpha - \gamma) \tg (\alpha - \beta) \tg (\beta - \gamma) = 0. $

Któryś z tangensów we wzorze (6) musi równać się zeru, a ponieważ, jak zauważyliśmy wyżej, odpowiedni kąt jest większy od $- 180^\circ$ a mniejszy od $180^\circ$ , więc kąt ten musi być też równy zeru. Co najmniej dwa z kątów $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ są zatem równe, a to oznacza, że co najmniej dwie spośród liczb $a$ , $b$ , $c$ są równe.