L MOM - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

L MOM, 2009

Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ . Punkty $P$ oraz $Q$ są odpowiednio punktami wewnętrznymi odcinków $CA$ oraz $AB$ . Niech $K$ , $L$ oraz $M$ będą odpowiednio środkami odcinków $BP$ , $CQ$ oraz $PQ$ . Niech ponadto $\Gamma$ będzie okręgiem przechodzącym przez punkty $K$ , $L$ oraz $M$ . Załóżmy, że prosta $PQ$ jest styczna do okręgu $\Gamma$ . Wykazać, że $OP=OQ$ .

Rozwiązanie

Niech $K$ , $L$ , $M$ , $B'$ oraz $C'$ będą odpowiednio środkami odcinków $BP$ , $CQ$ , $PQ$ , $CA$ oraz $AB$ . Wówczas $MK=\tfrac{QB}2$ oraz $ML=\tfrac{PC}2$ . Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że $CP\|LM$ , a stąd $\measuredangle LMP=\measuredangle QPA$ . Okrąg $k$ jest styczny do odcinka $PQ$ w punkcie $M$ , więc $\measuredangle LMP=\measuredangle LKM$ , czyli otrzymujemy równość kątów $\measuredangle QPA=\measuredangle LKM$ . Analogicznie dowodzimy, że $\measuredangle PQA=\measuredangle KLM$ . Uzyskane równości kątów dowodzą, że trójkąty $APQ$ i $MKL$ są podobne, a zatem

$ \frac{AP}{AQ}=\frac{MK}{ML}=\frac{\tfrac{QB}2}{\tfrac{PC}2}=\frac{QB}{PC}, $

czyli $AP\cdot PC=AQ\cdot QB$ .

$ \begin{split} OP^2-OQ^2&=OB'^2+B'P^2-OC'^2-C'Q^2=\\ &=(OA^2-AB'^2)+B'P^2-(OA^2-AC'^2)-C'Q^2=\\ &=(AC'^2-C'Q^2)-(AB'^2-B'P^2)=\\ &=(AC'-C'Q)(AC'+C'Q)-(AB'-B'P)(AB'+B'P)=\\ &=AQ(BC'+C'Q)-AP(CB'+B'P)=AQ\cdot QB-AP\cdot PC=\\ &=0 \end{split} $

Wynika stąd, że $OP=OQ$ .