III OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

a) Dane są punkty $A$ , $B$ , $C$ nie leżące na prostej. Wyznaczyć takie trzy proste wzajemnie równoległe i przechodzące odpowiednio przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , żeby odstępy między sąsiednimi prostymi równoległymi były równe.

b) Dane są punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ nie leżące na płaszczyźnie. Wyznaczyć takie cztery płaszczyzny wzajemnie równoległe i przechodzące odpowiednio przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , żeby odstępy między sąsiednimi płaszczyznami równoległymi były równe.

Rozwiązanie

a) Przypuśćmy, że proste $a$ , $b$ , $c$ przechodzące odpowiednio przez punkty $A$ , $B$ , $C$ i wzajemnie równoległe czynią zadość warunkowi zadania, to znaczy, że odstępy między sąsiednimi równoległymi są równe. Wówczas ta z prostych $a$ , $b$ , $c$ , która leży między dwiema pozostałymi, jest od nich równo odległa. Niech tą prostą będzie, np. prosta $b$ . W takim razie punkty $A$ i $C$ są równo odległe od prostej $b$ i leżą po jej stronach przeciwnych; zatem prosta $b$ przecina odcinek $AC$ w jego środku $M$ . Z tego, że punkty $A$ , $B$ , $C$ nie leżą na prostej, wynika, że punkt $M$ jest różny od punktu $B$ .

Stąd konstrukcja: prowadzimy prostą $b$ przez punkt $B$ i przez środek $M$ odcinka $AC$ , a następnie prowadzimy przez punkty $A$ i $C$ proste $a$ i $c$ równoległe do prostej $b$ (rys. 12). Wyznaczone w ten sposób proste równoległe $a$ , $b$ , $c$ dają rozwiązanie zadania, gdyż punkty $A$ i $C$ , a zatem i proste $a$ i $c$ są równo odległe od prostej $b$ i leżą po przeciwnych stronach tej prostej.

Rozwiązanie powyższe znaleźliśmy założywszy o szukanych prostych $a$ , $b$ , $c$ , że prosta $b$ leży między prostymi $a$ i $c$ ; ponieważ ową prostą ,,wewnętrzną'' może być równie dobrze $a$ lub $c$ , więc zadanie ma trzy rozwiązania.

b) Przypuśćmy, że płaszczyzny $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ , przechodzące odpowiednio przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ i wzajemnie równoległe, czynią zadość warunkowi zadania, to znaczy, że odstępy między sąsiednimi płaszczyznami są równe. Niech płaszczyzny te leżą w kolejności $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ . Chcemy przez to powiedzieć, że płaszczyzna $\beta$ jest równo odległa od płaszczyzn $\alpha$ i $\gamma$ , a płaszczyzna $\gamma$ jest równo odległa od płaszczyzn $\beta$ i $\delta$ .

W takim razie jnnkty $A$ i $C$ są równo odległe od płaszczyzny $\beta$ i leżą po jej stronach przeciwnych, zatem płaszczyzna $\beta$ przechodzi przez środek $M$ odcinka $AC$ . Podobnie płaszczyzna $\gamma$ przechodzi przez środek $N$ odcinka $BD$ . Z tego, że punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ nie leżą na płaszczyźnie, wynika, że punkt $M$ jest różny od punktu $B$ , a punkt $N$ jest różny od punktu $C$ .

Wysnuwamy stąd następującą konstrukcję. Łączymy punkt $B$ ze środkiem $M$ odcinka $AC$ , a punkt $C$ ze środkiem $N$ odcinka $BD$ (rysunek 13 wyobraża rzut równoległy figury). Proste $BM$ i $CN$ są skośne; Gdyby bowiem leżały w jednej płaszczyźnie, to w tej samej płaszczyźnie leżałyby - wbrew założeniu - punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Wiemy ze stereometrii, że przez dwie proste skośne $BM$ i $CN$ można poprowadzić dwie i tylko dwie płaszczyzny wzajemnie równoległe $\beta$ i $\gamma$ .

W tym celu prowadzimy przez punkt $M$ prostą $m$ równoległą do prostej $CN$ , a przez punkt $N$ prostą $n$ równoległą do prostej $BM$ ; płaszczyzna $\beta$ jest wówczas wyznaczona przez proste $m$ i $BM$ , a płaszczyzna $\gamma$ - przez proste $n$ i $CN$ .

Wreszcie przez punkty $A$ i $D$ prowadzimy płaszczyzny $\alpha$ i $\delta$ równoległe do płaszczyzn $\beta$ i $\gamma$ ; możemy je wyznaczyć, jak wskazuje rysunek 13, prowadząc przez każdy z punktów $A$ i $D$ proste równoległe do prostych $BM$ i $CN$ .

Wyznaczone w ten sposób płaszczyzny $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ dają rozwiązanie zadania, gdyż punkty $A$ i $C$ , a zatem i płaszczyzny $\alpha$ i $\gamma$ są równo odległe od płaszczyzny $\beta$ i leżą po przeciwnych stronach płaszczyzny $\beta$ - i tak samo płaszczyzny $\beta$ i $\delta$ są równo odległe od płaszczyzny $\gamma$ i leżą po przeciwnych stronach tej płaszczyzny.

Rozwiązanie powyższe znaleźliśmy założywszy o szukanych płaszczyznach, że leżą w kolejności $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ . Dla innych kolejności szukanych płaszczyzn znajdziemy w ten sam sposób inne rozwiązania zadania. Liczba wszystkich możliwych kolejności, czyli jak się inaczej mówi, permutacyj liter $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ wynosi $4!$ , tj. $24$ . Zauważmy jednak, że dwie permutacje "odwrotne" jak np. $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ i $\delta$ , $\gamma$ , $\beta$ , $\alpha$ dają to samo rozwiązanie. Wobec tego zadanie ma $\frac{24}{2} = 12$ rozwiązań odpowiadających permutacjom:

$ \alpha \beta \gamma \delta,\ \alpha \beta \delta \gamma,\ \alpha \gamma \beta \delta ,\ \alpha \gamma \delta \beta ,\ \alpha \delta \beta \gamma,\ \alpha \delta \gamma \beta $

$ \beta \alpha \gamma \delta,\ \beta \alpha \delta \gamma,\ \beta \gamma \alpha \delta ,\ \beta \delta \alpha \gamma ,\ \gamma \alpha \beta \delta,\ \gamma \beta \alpha \delta . $