III OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

Dowieść, ze wielomian

$ x^{44} + x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1 $

jest podzielny przez wielomian $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ .

Rozwiązanie

Pomnóżmy każdy z danych wielomianów

$ f(x) = x^{44} + x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1 $

oraz

$ g(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 $

przez $x - 1$ ; otrzymamy wielomiany

$ \begin{split} F(x)& = (x - 1) (x^{44} + x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1) = \\ & = x^{45} - x^{44} + x^{34} - x^{33} + x^{23} - x^{22} + x^{12} - x^{11} + x - 1 \end{split} $

$ G(x) = (x- 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 - 1. $

Aby dowieść, że wielomian $f(x)$ jest podzielny przez wielomian $g (x)$ , wystarczy wykazać, że wielomian $F (x)$ jest podzielny przez wielomian $G (x)$ , tj. przez $x^5 - 1$ .

Otóż

$ \begin{split} & x^{45} - x^{44} + x^{34} - x^{33} + x^{23} - x^{22} + x^{12}- x^{11} + x - 1 =\\ & = (x^{45} - 1) - x^{34} (x^{10} - 1) - x^{23} (x^{10} - 1) - x^{12} (x^{10} - 1) - x(x^{10}- 1)= \\ & = [(x^5)^9 - 1] - (x^{10} - 1) (x^{34} + x^{23} + x^{12} + x) = \\ & = (x^5-1)(x^{40} + x^{35}] + \ldots + 1)-(x^5-1)(x^5+1)(x^{34} + x^{23} + x^{12} + x) =\\ & = (x^5 - 1) [x^{40} + x^{35} + \ldots + 1 - (x^5 + 1) (x^{34} + x^{23} + x^{12} + x)]. \end{split} $

Zatem

$ F(x) = G(x) [x^{40} + x^{35} + \ldots + 1 - (x^6 + x) (x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1)]. $

Istotnie więc wielomian $F(x)$ jest podzielny przez wielomian $G(x)$ czego należało dowieść.

Dzieląc obie strony ostatnie równości przez $x - 1$ otrzymujemy wzór

$ \begin{split} & x^{44} + x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1 = \\ & = (x^4 + x^3 + x^2 + x+1) [x^{40} + x^{35} + \ldots + 1 - (x^6 + x) (x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1)], \end{split} $

tzn. ten sam wzór (6), do którego doszliśmy w sposobie I.