III OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

Dowieść, że jeżeli $u \geq 0$ , $v \geq 0$ , $w \geq 0$ , to zachodzi nierówność

$ (1) \qquad u^3 + v^3 + w^3 \geq 3uvw. $

Rozwiązanie

Gdy któraś z liczb $u$ , $v$ , $w$ równa się zeru, nierówność powyższa jest prawdziwa, gdyż prawa jej strona równa się wtedy zeru, a lewa jest nieujemna. Trzeba więc tylko dowieść, że gdy $u > 0$ , $v > 0$ , $w > 0$ , to

$ u^3 + v^3 + w^3 \geq 3uvw. $

\spos{I} Rozłożymy wielomian $u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw$ na czynniki. Przekształcimy w tym celu sześcian sumy liczb $u$ , $v$ , $w$ w następujący sposób:

$ \begin{split} (u& + v + w)^3 = (u + v)^3 + 3 (u + v)^2 w + 3 (u + v) w^2 + w^3 = \\ & = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + 3u^2w + 6uvw + 3v^2w + 3uw^2 + 3vw^2 + w^3 = \\ & = u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw + (3u^2v + 3uv^2 + 3uvw) + (3v^2w + 3vw^2 + 3uvw) + \\ & + (3u^2w + 3uw^2 + 3uvw) = u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw + 3uv (u + v + w) + \\ & + 3vw (u + v + w) + 3wu (u + v + w) = u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw + \\ & + 3 (u + v + w) (uv + vw + wu). \end{split} $

Stąd

$ \begin{split} u^3 +& v^3 + w^3 - 3uvw =\\ & = (u + v + w)^3 - 3 (u + v + w)(uv + vw + wu) = \\ & = (u + v + w) [(u + v + w)^2 - 3 (uv + vw + wu)] =\\ & = (u + v + w) (u^2 + v^2 + w^2 - uv - vw - wu) = \\ & = \frac{1}{2} (u + v + w) (2u^2 + 2v^2 + 2w^2 - 2 uv - 2vw - 2wu). \end{split} $