III OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

Niech $a$ , $b$ oznaczają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, $c$ - jego przeciwprostokątną, $r$ - promień koła wpisanego, wreszcie $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ - promienie kół dopisanych tego trójkąta. Dowieść, że:

1) $r + r_a + r_b = r_c$

2) promienie $r$ , $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ wyrażają się jednocześnie liczbami całkowitymi wtedy i tylko wtedy, gdy boki $a$ , $b$ , $c$ są wyrażone liczbami całkowitymi.

Rozwiązanie

W zadaniu tym mamy do czynienia z figurą rys. 16, która jest przypadkiem szczególnym figury rys. 11, gdyż kąt $C$ jest prosty. Widzimy, że $r = CM$ , $r_a = CP$ , $r_b= CR$ , $r_c = CQ$ .

Oznaczając $a + b +c = 2p$ i stosując wzory podane w uwadze II do zadania 16 otrzymujemy

$ (1) \qquad \left\{ \begin{array}{l} r = p - c\\ r_a = p-b\\ r_b = p - a\\ r_c = p \end{array} \right. $

Stąd od razu wynika pierwsza część twierdzenia:

$ r + r_a + r_b = 3p - (a + b + c) = 3p - 2p = p = r_c. $

Aby dowieść części drugiej załóżmy najpierw, że $a$ , $b$ , $c$ są liczbami całkowitymi. Dowód, że $r$ , $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ są również liczbami całkowitymi, sprowadza się - jak to widać ze wzorów (1) - do wykazania, że $p$ jest liczbą całkowitą, tj. że $2p$ jest liczbą parzystą. Otóż według twierdzenia Pitagorasa

$ (2) \qquad a^2 + b^2 - c^2 = 0. $

Wobec tego albo wszystkie trzy liczby $a^2$ , $b^2$ , $c^2$ są parzyste, albo jedna z nich jest parzysta, a dwie inne są nieparzyste. Istotnie, w każdym innym przypadku, tj. gdyby dwie z tych liczb były parzyste, a trzecia była nieparzysta, albo gdyby wszystkie trzy były nieparzyste, lewa strona równości (2) nie byłaby podzielna przez $2$ i równość ta nie mogłaby zachodzić. Stąd wniosek, że albo wszystkie trzy liczby $a$ , $b$ , $c$ są parzyste, albo jedna jest parzysta a dwie pozostałe są nieparzyste; w obu przypadkach suma liczb $a$ , $b$ , $c$ tj. $2p$ jest liczbą parzystą, co było do okazania.