Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

III OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

I

Rozwiązać równanie

$<br /> (1) \qquad |x| + |x - 1| + |x -2| = a,<br />$

gdzie $a$ oznacza daną liczbę dodatnią.

Rozwiązanie

Definicja wartości bezwzględnej $|l|$ liczby rzeczywistej $l$ jest następująca :

$<br /> \begin{array}{l}<br /> \textrm{jeśli }l \geq 0, \textrm{ to } |l| = l,\\<br /> \textrm{jeśli }l < 0, \textrm{ to } |l| = -l.<br /> \end{array}<br />$

Aby rozwiązać równanie (1), najlepiej zastąpić je równaniem nie zawierającym symbolu wartości bezwzględnej. Będziemy szukali rozwiązań równania kolejno w przedziałach $(-\infty, 0)$ , $(0,1)$ , $(1,2)$ , $(2,\infty)$ .

1. Jeśli $x \leq 0$ , równanie (1) przybiera postać

$<br /> - x - (x-1) - (x - 2) = a, \textrm{ czyli } -3x + 3 = a.<br />$

Stąd

$<br /> x = \frac{3-a}{3}.<br />$

Warunek $x \leq 0$ jest spełniony, gdy $a \geq 3$ .

2. Jeśli $0 \leq x \leq 1$ , równanie (1) przybiera postać

$<br /> x - (x-1)-(x - 2) = a, \textrm{ czyli } -x + 3 = a.<br />$

Stąd

$<br /> x = 3 - a.<br />$

Warunek $0 \leq x \leq 1$ jest spełniony, gdy $2 \leq a \leq 3$ .

3. Jeśli $1 \leq x \leq 2$ , równanie (1) przybiera postać

$<br /> x + x - 1 - (x - 2 ) = a, \textrm{ czyli } x + 1 = a.<br />$

Stąd

$<br /> x = a - 1.<br />$

Warunek $1 \leq x \leq 2$ jest spełniony, gdy $2 \leq a \leq 3$ .

4. Jeśli $x \geq 2$ , równanie (1) przybiera postać

$<br /> x + x - 1 + x - 2 = a, \textrm{ czyli } 3x - 3 = a.<br />$

Stąd

$<br /> x = \frac{a + 3}{3}.<br />$

Warunek $x \geq 2$ jest spełniony, gdy $a \geq 3$ .

Zestawimy otrzymane wyniki:

Gdy $a < 2$ , równanie (1) ma $0$ rozwiązań.

Gdy $a = 2$ , równanie (1) ma $1$ rozwiązanie: $x=1$ .

Gdy $2 < a < 3$ , równanie (1) ma $2$ rozwiązania: $x = 3-a$ , $x = a-1$ .

Gdy $a \geq 3$ , równanie (1) ma $2$ rozwiązania: $x = \frac{3-a}{3}$ , $x = \frac{a+3}{3}$ .

Zależność $x$ od $a$ przedstawiona jest graficznie na rys. 20.

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1735