III OM - I - Zadanie 11

Wykazać, że jeżeli żaden z kątów czworokąta wypukłego nie jest prosty, to zachodzi równość

Rozwiązanie

Wiemy, że

zatem

Stąd

Mnożąc obie strony tej równości przez otrzymujemy

lub, po łatwym przekształceniu,

Dzieląc obie strony tej równości przez iloczyn otrzymujemy

czyli żądaną równość (1).

Powyższy dowód zawiera jednak lukę, gdyż równość (2) wymaga założenia, że i . Trzeba więc jeszcze rozpatrzyć przypadek, gdy

(Przypadek, gdy , a , nie wymaga osobnego rozważania, gdyż otrzymuje się z poprzedniego przez zamianę liter).

Otóż z równości (3) i z tego, że każdy kąt czworokąta wypukłego zawiera się między i , wynikają nierówności

Z nierówności (4) wnioskujemy, że

Możemy więc z równości wysnuć wniosek, że

i z równości (2a) otrzymać równość (1) w taki sam sposób, jak poprzednio z równości (2).

Uwaga. W poprzednim dowodzie przy wyprowadzaniu nierówności (4) korzystaliśmy z założenia, że czworokąt1 jest wypukły. Powstaje pytanie: czy wzór (1) jest również prawdziwy dla wielokąta wklęsłego, jeśli żaden jego kąt nie jest prosty? Okazuje się, że tak jest istotnie; rozumowanie poprzednie wymaga jednak uzupełnienia.

Przypuśćmy, że czworokąt jest wklęsły. Tak samo jak w czworokącie wypukłym zachodzi równość

gdyż przekątna poprowadzona z wierzchołka kąta wklęsłęgo dzieli czworokąt na dwa trójkąty.

Jeśli czworokąt ma dwa takie kąty, że ich suma nie równa się ani , ani , to równość (1) uzasadnimy dokładnie tak samo, jak dla czworokąta wypukłego.

Lecz są czworokąty wklęsłe, w których każcie dwa kąty dają w sumie albo . Niech oznacza kąt wklęsły czworokąta; wymieniony przypadek zachodzi, gdy

skąd wynika, że

Do takiego czworokąta (rys. 24) nie można zastosować poprzedniego rozumowania. Ale i w tym przypadku wzór (1) jest prawdziwy, gdyż wszystkie występujące tam tangensy są wówczas równe i wzór wyraża równość .