III OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

Dowieść, że pole $S$ czworokąta wpisanego w koło i mającego boki $a$ , $b$ , $c$ , $d$ wyraża się wzorem

$ S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c)(p - d)}, $

gdzie $2p = a + b + c + d$ .

Rozwiązanie

Oznaczając boki i kąty czworokąta jak na rys. 25, mamy

$ (1) \qquad S = \textrm{pole }ABD + \textrm{pole }BOD = \frac{1}{2} (ad \sin A + bc \sin C), $

a ponieważ w czworokącie wpisanym w koło jest $A + C = 180^\circ$ , więc

$ (2) \qquad 2S = (ad + bc) \sin A. $

Zależność między kątem $A$ i bokami czworokąta znajdziemy obliczając długość $BD$ z trójkąta $ABD$ i z trójkąta $BCD$ :

$ BD^2 = a^2 + d^2 - 2ad \cos A = b^2 + c^2 - 2bc \cos C, $

skąd

$ (3) \qquad a^2 + d^2 - b^2 - c^2 = 2ad \cos A -2bc \cos C, $

a ponieważ $\cos C = - \cos A$ , więc

$ (4) \qquad a^2 + d^2 - b^2 - c^2 = 2 (ad + bc) \cos A. $

Ze związków (2) i (4) możemy wyrugować kąt $A$ . W tym celu mnożymy obie strony wzoru (2) przez $2$ , podnosimy równości (2) i (4) stronami do kwadratu i dodajemy; w rezultacie otrzymujemy

$ 16 S^2 + (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = 4 (ad + bc)^2. $

Stąd

$ \begin{split} 16 S^2 & = 4 (ad + bc)^2 - (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = [2 (ad + bc) + \\ & + (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)] [2 (ad + bc) - (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)] = \\ & = [(a + d)^2 - (b - c)^2] [(b + c)^2 - (a-d)^2] \end{split} $

i ostatecznie

$ (5) \qquad 16S^2 = (a + d - b + c) (a + d + b - c) (b + c - a +d) (b + c + a - d). $

Wprowadzamy oznaczenie

$ a + b + c + d = 2p $

i w znany sposób przekształcamy czynniki występujące po prawej stronie równości (5):

$ a + d - b + c = a + b + c + d - 2b = 2(p - b); $

podobnie

$a + d + b - c = 2(p - c),$

$b + c - a + d = 2(p - a),$

$b + c + a - d = 2 (p - d).$

Podstawiając te wyrażenia do równości (5) otrzymujemy

$ 16 S^2 = 2^4 (p - a)(p - b) (p - c)(p - d), $

skąd

$ (6) \qquad S = \sqrt{ (p - a) (p -b)(p - c) (p - d)}, $

czego należało dowieść.

Uwaga 1. Wzór (6) na pole czworokąta wpisanego w koło jest przypadkiem szczególnym wzoru dotyczącego pola dowolnego czworokąta (wypukłego lub wklęsłego).

Wzory (1) i (3) stosują się, jak łatwo sprawdzić, do każdego czworokąta,. Podnosząc te wzory obustronnie do kwadratu otrzymujemy:

$ 16 S^2 = 4a^2d^2 \sin^2 A + 4b^2c^2 \sin^2 C + 8 abcd \sin A \sin C, $

$ (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = 4a^2d^2 \cos^2 A + 4b^2c^2 \cos^2C - 8abcd \cos A \cos C. $

Dodając te równości stronami:

$ 16 S^2 + (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = 4a^2d^2 + 4b^2c^2 - 8abcd \cos (A + C) $

i podstawiając $\cos (A + C) = 2 \cos^2 \frac{A+C}{2} - 1$ otrzymujemy

$ 16S^2 = 4 (ad + bc)^2 - (a^2 + d^2-b^2 - c^2)^2 - 16abcd \cos^2 \frac{A+C}{2}. $

Stosując do pierwszych dwóch wyrazów prawej strony ostatniej równości to samo przekształcenie, co poprzednio, otrzymujemy

$ 16S^2= 16 (p -a) (p - b) (p - c) (p - d) - 16abcd \cos^2 \frac{A+C}{2}, $

skąd ostatecznie mamy wzór

$ (7) \qquad S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd \cos^2 \frac{A+C}{2}}. $

Gdy $A+C = 180^\circ$ , tj. gdy czworokąt jest wpisany w koło, wówczas $\cos \frac{A+C}{2} = 0$ , więc drugi wyraz pod pierwiastkiem znika i wzór (7) przybiera postać (6).

Uwaga 2. Ze wzoru (7) możemy wysnuć natychmiastowy dowód twierdzenia odwrotnego do twierdzenia wypowiedzianego w tekście zadania nr 27:

Jeżeli pole czworokąta wyraża się wzorem (6), to na czworokącie można opisać koło.

Istotnie, ze wzorów (6) i (7) wynika, że $\cos \frac{A+C}{2} =0$ , więc $A + C = 180^\circ$ .

Zwróćmy uwagę jeszcze na następujący ciekawy wniosek ze wzoru (7): gdy boki $a$ , $b$ , $c$ , $d$ są stałe, wzór (7) daje największą wartość pola $S$ w przypadku, gdy $A + C = 180^\circ$ . A zatem:

Czworokąt wpisany w koło ma pole większe niż każdy inny czworokąt o takich samych bokach.

Można wypowiedzieć twierdzenie mocniejsze (twierdzenie $A$ jest mocniejsze od twierdzenia $B$ , czyli $B$ jest słabsze od $A$ , jeżeli twierdzenie $B$ wynika z twierdzenia $A$ , ale nie odwrotnie):

Spośród wszystkich czworokątów, jakie można zbudować z danych boków $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , największe pole ma czworokąt wpisany w koło.

Mogłoby się na pozór wydawać, że oba twierdzenia wyrażają jedno i to samo. Łatwo jednak dostrzeżemy różnicę treści twierdzeń, gdy je sformułujemy w postaci następującej:

a) Jeżeli czworokąty $A$ i $B$ mają takie same boki i na czworokącie $A$ można opisać kolo, a na czworokącie $B$ nie można opisać koła, to pole czworokąta $A$ jest większe niż fole czworokąta $B$ .

b) Wśród wszystkich czworokątów mających takie same boki istnieje czworokąt o największym polu; jest to czworokąt, na którym można opisać koło.

Udowodniliśmy powyżej twierdzenie a); aby dowieść twierdzenia b), należy jeszcze wykazać, że wśród czworokątów mających dane boki $a$ , $b$ , $c$ , $d$ istnieje czworokąt wpisany w koło. Możemy to zrobić w sposób następujący:

Niech $ABCD$ będzie czworokątem o bokach $a$ , $b$ , $c$ , $d$ (rys. 26), w którym $A + C < 180^\circ$ . Jeśli na przedłużeniu przekątnej $BD$ obierzemy dowolnie punkt $D_1$ - tak jednak, aby odcinek $x = BD_1$ był krótszy od $a + d$ i od $b + c$ , to możemy zbudować (jak wskazuje rysunek 26) określony czworokąt $A_1BC_1D_1$ o bokach $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . Wówczas $A_1 > A$ i $C_1 > C$ .

Gdy punkt $D_1$ oddala się od punktu $D$ , kąty $A_1$ i $C_1$ wzrastają, przy czym można znaleźć takie położenie punktu $D_1$ , że $A_1 + C_1 > 180^\circ$ . Jeżeli np. $a + d 180^\circ$ .

Otóż suma $A_1 + C_1$ jest funkcją ciągłą zmiennej $x = BD_1$ , co łatwo sprawdzić obliczając kąty $A_1$ i $C_1$ z trójkątów $A_1BD_1$ i $BC_1D_1$ w zależności od $x$ i od $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . Gdy punkt $D_1$ posuwa się po przedłużeniu odcinka $BD$ poczynając od punktu $D$ , funkcja ta przechodzi od wartości mniejszych niż $180^\circ$ do wartości większych niż $180^\circ$ , musi więc przejść przez wartość $180^\circ$ , tzn. istnieje taki punkt $D_1$ , że czworokąt $A_1BC_1D_1$ jest wpisany w koło, a tego właśnie należało dowieść.