III OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

Znaleźć warunki konieczne i dostateczne, jakie powinny spełniać liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ , aby równanie

$ (1) \qquad x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $

miało trzy pierwiastki rzeczywiste tworzące postęp arytmetyczny.

Rozwiązanie

Pierwiastki równania (1) tworzą postęp arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy można je przedstawić w postaci $p - r$ , $p$ , $p + r$ , gdzie $r \geq 0$ .

Przypadek $r = 0$ oznacza, że równanie (1) ma trzy równe pierwiastki (pierwiastek potrójny); przypadek ten zachodzi, gdy lewa strona równania (1) jest sześcianem dwumianu postaci $x - \alpha$ ; wówczas

$ x^3 + ax^2 + bx + c = x^3 - 3\alpha x^2 + 3\alpha^2 x - \alpha^3, $

zatem

$ a = - 3\alpha,\ b = 3\alpha^2,\ c = - \alpha^3, $

co daje warunki

$ (6) \qquad b = \frac{1}{3} a^2,\ c = \frac{1}{27} a^3. $

Zakładając, że $r > 0$ , otrzymujemy szukane warunki w postaci równań

$ (7) \qquad (p - r)^3 + a (p - r)^2 + b (p - r) + c = 0, $

$ (8) \qquad p^3 + ap^2 + bp + c = 0, $

$ (9) \qquad (p + r)^3 + a(p + r)^2 + b (p + r) + c = 0, $

którym mają czynić zadość liczby rzeczywiste $p$ i $r$ .

Dodając równania (7) i (9) oraz odejmując od tej sumy równanie (8) po podwojeniu jego współczynników otrzymujemy równanie

$ (3p + a)r^2 = 0, $

lub, uwzględniając warunek $r > 0$ , równanie

$ (10) \qquad 3p + a = 0. $

Odejmując równanie (8) od (9) otrzymujemy po podzieleniu przez $2r$ równanie

$ (11) \qquad 3p^2 + r^2 + 2ap + b = 0. $

Układ równań (7), (8), (9) jest równoważny układowi równań (8), (10), (11), ten zaś z kolei jest równoważny układowi, który otrzymamy podstawiając do równań (8) i (11) wartość $p = - \frac{1}{3}$ a z równania (10), tj. układowi

$ (10a) \qquad p = - \frac{1}{3} a, $

$ (12) \qquad 2a^3 - 9ab + 27c = 0, $

$ (13) \qquad r^2 = \frac{1}{3}a^2 - b. $

Stąd otrzymujemy żądane warunki w postaci równości (12) oraz nierówności

$ (13a) \qquad \frac{1}{3}a^2 - b > 0. $

wyrażającej warunek rzeczywistości liczby $r$ .

Pierwiastki równania (1) tworzą zatem postęp arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki (12) i (13a) lub warunki (6). Ponieważ w przypadku, gdy $b = \frac{1}{3} a^2$ , tj. $\frac{1}{3} a^2 - b = 0$ , równanie (12) daje $c = \frac{1}{27} a^3$ , więc poszukiwane warunki możemy ostatecznie ująć w postaci związków: