III OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

Dowieść, że jeżeli $a$ , $b$ , $c$ , $d$ są bokami takiego czworokąta, na którym można opisać koło, i w który można wpisać kolo, to pole $S$ czworokąta wyraża się wzorem

$ S = \sqrt{abcd}. $

Rozwiązanie

Jeżeli czworokąt o bokach $a$ , $b$ , $c$ , $d$ jest wpisany w koło, to pole $S$ wyraża się (patrz zadanie nr 27) wzorem

$ (1) \qquad S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d)}, $

w którym

$ a + b + c + d = 2p. $

Jeśli czworokąt taki jest jednocześnie opisany na kole, to

$ (2) \qquad a + c = b + d = p. $

Z równości (2) wynika, że w takim czworokącie

$ p - a = c,\ p - b = d,\ p - c = a,\ p - d = b. $

Podstawiając te wartości we wzorze (1) otrzymujemy

$ (3) \qquad S = \sqrt{abcd}, $

co było do okazania.

Uwaga. Zapytajmy, czy zachodzi twierdzenie odwrotne, tj. czy z założenia, że pole czworokąta wyraża się wzorem (3), wynika już, że na czworokącie tym można opisać koło i że można w ten czworokąt wpisać koło. Nie trudno się przekonać, że tak nie jest. Jeśli np. czworokąt jest prostokątem o bokach $a$ , $b$ , $c = a$ , $d = b$ , przy czym $a \ne b$ , to $S = ab = \sqrt{(ab)^2} = \sqrt{abcd}$ , a w czworokąt ten nie można wpisać koła, choć można na nim opisać koło. Przykład ten można tak zmodyfikować, by otrzymać czworokąt, który by spełniał warunek (3), a nie był ani opisanym na kole, ani wpisanym w koło. W tym celu zamiast prostokąta weźmy czworokąt $ABCD$ wpisany w koło, w którym $AB = a$ , $BC = b$ , $CD = c$ , $DA = d$ , przy czym $a = b$ , $c \ne d$ , a kąty $B$ i $D$ są proste (rys. 27).

Pole czworokąta $ABCD$ wyraża się wzorem

$ S = \textrm{pole }ABC + \textrm{pole }ADC = \frac{ab + cd}{2}. $

Trójkąt prostokątny równoramienny $ABC$ ma tę samą podstawę, co trójkąt prostokątny $ADC$ , lecz większą wysokość, zatem $\textrm{pole }ABC > \textrm{pole }ADC$ , tj. $ab> cd$ ; ponieważ średnia arytmetyczna liczb nierównych $ab$ i $cd$ jest większa od ich średniej geometrycznej $\sqrt{ abcd}$ , więc

$ S > \sqrt{abcd}. $

Jeśli pozostawiając bez zmiany długości boków $a$ , $b$ , $c$ , $d$ powiększymy przekątną $AC$ , otrzymamy czworokąt $AB'C'D'$ (rys. 27) o polu $S'$ mniejszym niż $S$ . Chodzi o to, żeby tak obrać punkt $C'$ , aby zachodziła równość $S' = \sqrt{ abcd}$ . W tym celu trzeba wyznaczyć kąty rozwarte $B'$ i $D'$ w ten sposób, żeby spełnione były dwa warunki:

$ a^2 + b^2 - 2ab \cos B' = c^2 + d^2 - 2cd \cos D' $

$ \frac{1}{2} ab \sin B' + \frac{1}{2} cd \sin D' = \sqrt{ abcd}. $

Nie ma potrzeby przeprowadzania ogólnej dyskusji tych równań; dla naszego celu wystarczy podać rozwiązanie w jakimś przypadku szczególnym. Załóżmy, że czworokąt $ABCD$ jest wpisany w koło o promieniu $1$ i że $CD$ jest bokiem sześciokąta foremnego wpisanego w to koło, wobec czego $a = b = \sqrt{ 2}$ , $c = 1$ , $d = \sqrt{ 3}$ . Po podstawieniu tych wartości do powyższych równań otrzymujemy równania

$ 2 \cos B' = \sqrt{3} \cos D', $

$ 2 \sin B' + \sqrt{3} \sin D' = 2\sqrt{2 \sqrt{3}}. $

Podnosząc pierwsze równanie do kwadratu i wyrażając następnie cosinusy kątów przez ich sinusy otrzymujemy równanie

$ 4 \sin^2 B' - 3 \sin^2 D' = 1. $

Dzieląc to równanie przez drugie z poprzednich równań mamy

$ 2 \sin B' - \sqrt{3} \sin D' = \frac{1}{2\sqrt{2\sqrt{3}}}. $

Zatem

$ \sin B' = \frac{1}{4} \left[ 2\sqrt{2\sqrt{3}} + \frac{1}{2\sqrt{2\sqrt{3}}} \right] = \frac{8\sqrt{3}+1}{8\sqrt{2 \sqrt{3}}}, $

$ \sin D\ = \frac{1}{2\sqrt{3}} \left[ 2\sqrt{2\sqrt{3}} - \frac{1}{2\sqrt{2\sqrt{3}}} \right] = \frac{8\sqrt{3}-1}{4\sqrt{6 \sqrt{3}}}. $

Otrzymane wartości są, jak łatwo sprawdzić, mniejsze od $1$ , wyznaczają więc kąty rozwarte $B'$ i $D'$ .

Tak dobrany czworokąt $AB'C'D'$ ma pole $S' = \sqrt{ abcd} = \sqrt{2\sqrt{3}}$ , ale nie jest ani wpisany w koło (gdyż ma dwa przeciwległe kąty rozwarte), ani opisany na kole (gdyż sumy boków przeciwległych nie są równe).

Zauważymy jeszcze, że zachodzi twierdzenie częściowo odwrotne do twierdzenia z zadania nr 29:

Jeżeli pole $S$ czworokąta o bokach $a$ , $b$ , $c$ , $d$ wyraża się wzorem $S = \sqrt{abcd}$ i w czworokąt ten można wpisać koło, to można również opisać na nim koło.