III OM - II - Zadanie 3

Czy prawdziwe są twierdzenia:

a) jeżeli cztery wierzchołki prostokąta leżą na czterech bokach rombu, to boki prostokąta są równoległe do przekątnych rombu;

b) jeżeli cztery wierzchołki kwadratu leżą na czterech bokach rombu, który nie jest kwadratem, to boki kwadratu są równoległe do przekątnych rombu.

Rozwiązanie

a) Pierwsze twierdzenie nie jest prawdziwe; aby to wykazać, wystarczy dać kontrprzykład, czyli pokazać figurę zaprzeczającą twierdzeniu.

Ze środka rombu (rys. 28) zatoczmy okrąg o promieniu większym niż odległość środka rombu od jego boku, a mniejszym niż połowa krótszej przekątnej rombu.

Cała figura jest symetryczna względem każdej z prostych i , a także względem punktu . Nakreślony okrąg przecina każdy bok rombu w dwóch punktach. Niech będzie jednym z punktów przecięcia boku z okręgiem, a niech będzie tym punktem przecięcia boku z okręgiem, który nie jest symetryczny do punktu względem prostej . Niech następnie i będą punktami symetrycznymi do punktów i względem punktu , odcinki i są zatem średnicami okręgu; wobec symetrii figury względem punktu punkty i są punktami przecięcia boków i z okręgiem.

Czworokąt jest prostokątem, gdyż każdy jego kąt jest kątem wpisanym w nakreślony okrąg i opartym na jego średnicy (np. kąt opiera się na średnicy ). Bok tego prostokąta nie jest prostopadły do prostej , gdyż prosta nie przechodzi przez punkt symetryczny do punktu względem prostej ; tym samym bok nie jest równoległy do przekątnej . Bok nie jest też równoległy do przekątnej , gdyż łączy punkty i leżące po przeciwnych stronach prostej . Wierzchołki , , , prostokąta leżą odpowiednio na bokach , , , rombu, ale boki tego prostokąta nie są równoległe do przekątnych rombu. Prostokąt stanowi zatem kontrprzykład obalający twierdzenie a).

b) Wykażemy, że drugie twierdzenie jest prawdziwe.

Niech będzie kwadratem wpisanym w romb , przy czym wierzchołki , , , kwadratu leżą odpowiednio na bokach , , , rombu.

Udowodnimy najpierw, że środek kwadratu jest jednocześnie środkiem rombu. Obróćmy całą figurę dokoła punktu o . Wierzchołek kwadratu znajdzie się po obrocie w przeciwległym wierzchołku (rys. 29), prosta da po obrocie prostą przechodzącą przez punkt równolegle do prostej , tzn. pokryje się z prostą . Ponieważ takie samo rozumowanie stosuje się do każdego boku rombu, więc wynika stąd, że po obrocie romb nałoży się sam na siebie, a to oznacza, że środek obrotu jest środkiem symetrii rombu.

Obróćmy teraz całą figurę dokoła punktu o tak, aby półprosta pokryła półprostą (na rys. 30 kierunek obrotu zaznaczony jest strzałką). P0 obrocie kwadrat przejdzie w kwadrat , tzn. nałoży się sam na siebie; romb przejdzie w romb , nie pokrywający się z rombem , gdyż według założenia romb ten nie jest kwadratem. Jeśli np. to , a ; zatem odcinki i przecinają się. Punktem przecięcia tych odcinków jest wierzchołek kwadratu, gdyż na ten punkt upadnie po obrocie punkt odcinka . Analogicznie odcinki i przecinają się w wierzchołku kwadratu.

Pigura złożona z obu rombów jest symetryczna względem prostej ; w tej symetrii punktowi odpowiada punkt . Prosta jest więc prostopadła do osi symetrii , czyli jest równoległa do prostej , czego należało dowieść.

Uwaga. Gdybyśmy odrzucili założenie, że romb nie jest kwadratem, twierdzenie nie byłoby prawdziwe, w kwadrat bowiem można wpisać nieskończenie wiele kwadratów, z których tylko jeden ma boki równoległe do przekątnych kwadratu danego.

Z dowiedzionego twierdzenia b) wynika, że w romb nie będący kwadratem można wpisać tylko jeden kwadrat, w ten sposób, żeby na każdem boku rombu leżał któryś wierzchołek kwadratu. Można dowieść twierdzenia mocniejszego: istnieje tylko jeden kwadrat, którego wierzchołki leżą na obwodzie rombu nie będącego kwadratem. Wystarczy w tym celu wykazać, że nie istnieje kwadrat, którego dwa wierzchołki leżą na tym samym boku rombu, a pozostałe wierzchołki na innych bokach rombu. Pozostawiamy to jako ćwiczenie.