III OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

Dowieść, że jeżeli liczby $a$ , $b$ , $c$ spełniają równanie

$ (1) \qquad \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} +\frac{1}{ca} = \frac{1}{ab + bc + ca}, $

to dwie spośród nich są liczbami przeciwnymi.

Rozwiązanie

Równość (1) piszemy w postaci

$ \frac{a + b + c}{abc} = \frac{1}{ab + bc + ca}. $

Stąd wynika równość

$ (2) \qquad (a + b + c) (ab + bc - ca) - abc = 0, $

która po wykonaniu mnożenia i po redukcji daje

$ a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 + 2abc = 0. $

Lewą stronę porządkujemy według potęg $a$ :

$ (b + c) a^2 + (b^2 + 2bc + c^2) a + (b^2c + bc^2) = 0. $

Wyłączamy $b + c$ przed nawias:

$ (b + c) [a^2 + a (b + c) + bc] = 0 $

i ostatecznie otrzymujemy

$ (3) \qquad (b + c)(a + b)(a + c)=0. $

Z tej równości wynika, że któraś z sum $a + b$ , $b + c$ , $c + a$ jest równa zeru, tzn. że któreś dwie z liczb $a$ , $b$ , $c$ są liczbami przeciwnymi.