III OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

Dowieść, że płaszczyzna, która przechodzi: a) przez środki dwóch krawędzi przeciwległych czworościanu i b) przez środek jednej z pozostałych krawędzi czworościanu, dzieli czworościan na dwie części o równych objętościach.

Czy teza pozostanie prawdziwa, gdy odrzucimy założenie b)?

Rozwiązanie

Płaszczyzna przechodząca przez środki $M$ i $P$ przeciwległych krawędzi $AB$ i $CD$ czworościanu $ABCD$ i przez środek $N$ krawędzi $BC$ (rys. 32) musi przejść również przez środek $Q$ krawędzi $AD$ , przeciwległej do krawędzi $BC$ . Istotnie, każda z prostych $NP$ i $MQ$ jest równoległa do prostej $BD$ (na mocy twierdzenia o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta), więc $MQ \parallel NP$ ; płaszczyzna $MNP$ zawiera zatem prostą $MQ$ .

Płaszczyzna $MNPQ$ dzieli czworościan na dwie części; obliczmy objętość części leżącej po tej samej stronie płaszczyzny $MNPQ$ , co krawędź $BD$ , czyli objętość pięciościanu ograniczonego równoległobokiem $MNPQ$ , trójkątem $BMN$ , trapezami $BMQD$ i $BNPD$ , oraz trójkątem $DPQ$ . Poprowadźmy przez środek $R$ krawędzi $BD$ płaszczyznę $PQR$ . Płaszczyzna ta dzieli pięciościan na czworościan $DPQR$ i graniastosłup trójkątny $PQRBMN$ . Czworościan $DPQR$ ma objętość równą $\frac{1}{8}$ objętości $V$ czworościanu $ABCD$ , gdyż jest to czworościan podobny do danego czworościanu w skali $\frac{1}{2}$ . Objętość graniastosłupa $PQRBMN$ , który ma $4$ razy mniejszą podstawę i $2$ razy mniejszą wysokość niż czworościan $ABCD$ , równa się $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 3V = \frac{3}{8}V$ . Zatem, objętość pięciościanu $DBMNPQ$ równa się $\frac{1}{8}V + \frac{3}{8}V = \frac{1}{2}V$ , tzn. płaszezyzna $MNPQ$ dzieli dany czworościan na części o równych objętościach.

Aby odpowiedzieć na końcowe pytanie postawione w tekście zadania, poprowadźmy przez środki $M$ i $P$ krawędzi $AB$ i $CD$ dowolną płaszczyznę $\alpha$ . Jeśli płaszczyzna $\alpha$ przechodzi przez krawędź $CD$ , to rozcina czworościan na dwa czworościany $AMCD$ i $BMCD$ , których objętości są równe, gdyż czworościany te mają podstawy $AMC$ i $BMC$ o równych polach oraz wspólną wysokość z wierzchołka $D$ . Jeśli płaszczyzna $\alpha$ przecina krawędź $CD$ , to punkty $C$ i $D$ leżą po przeciwnych stronach tej płaszczyzny, więc płaszczyzna $\alpha$ przecina jedną z krawędzi $AD$ i $AC$ . Wystarczy rozpatrzyć przypadek, gdy płaszczyzna $\alpha$ przecina krawędź $AD$ w punkcie $Q'$ leżącym wewnątrz odcinka $QD$ (rys. 34); wykażemy, że przecina ona wtedy krawędź $BC$ w punkcie wewnętrznym $N'$ odcinka $NC$ .

Istotnie, prosta $Q'P$ , po której przecinają się płaszczyzny $\alpha$ i $ACD$ , przecina przedłużenie odcinka $AC$ w punkcie $T$ , a prosta $MT$ , która jest przecięciem płaszczyzn $\alpha$ i $ABC$ , przecina odcinek $NC$ , gdyż odcinek $MT$ łączy punkty $M$ i $T$ , leżące po przeciwnych stronach prostej $BC$ , i leży w pasie pomiędzy prostymi równoległymi $AC$ i $MN$ .

Płaszczyzna $\alpha$ rozcina czworościan na dwie części; obliczymy objętość jednej z nich, np. pięciościanu $DBMN'PQ'$ . Ponieważ, jak wynika z powyższego, punkty $N'$ i $Q'$ leżą po przeciwnych stronach płaszczyzny $MNPQ$ , więc

$ (1) \qquad \textrm{obj. }DBMN'PQ' = \textrm{obj. }DBMNPQ - \textrm{obj. }Q'MPQ + \textrm{obj. }N'MNP. $

Udowodnimy, że

$ (2) \qquad \textrm{obj. }Q'MPQ = \textrm{obj. }N'MNP. $

Ponieważ podstawy $MPQ$ i $MNP$ czworościanów $Q'MPQ$ i $N'MNP$ są trójkątami przystającymi, jako połowy równoległoboku $MNPQ$ , więc wystarczy dowieść, że wierzchołki $N'$ i $Q'$ są równo odległe od płaszczyzny $MNPQ$ , co się sprowadza do wykazania, ze punkt $S$ , w którym przecinają się przekątne $N'Q'$ i $PM$ czworokąta płaskiego $MN'PQ'$ , dzieli odcinek $N'Q'$ na połowy.

Otóż środki wszystkich odcinków łączących punkty prostej $AD$ z punktami prostej $BC$ leżą w jednej płaszczyźnie równoległej do obu prostych skośnych $AD$ i $BC$ . Płaszczyzna ta zawiera punkty $P$ i $M$ więc zawiera też punkt $S$ ; zatem istotnie punkt $S$ jest środkiem odcinka $N'Q'$ .

Z równości (1) i (2) wynika, że

$ \textrm{obj. }DBMN'PQ' = \textrm{obj. }DBMNPQ = \frac{1}{2} V. $

Dowiedliśmy, że każda płaszczyzna przechodząca przez środki dwóch przeciwległych krawędzi czworościanu dzieli czworościan na dwie części o równych objętościach.

Uwaga. Drugą część powyższego dowodu, tj. rozumowanie dotyczące podziału czworościanu $ABCD$ dowolną płaszczyzną $\alpha$ przechodzącą przez punkty $M$ i $P$ , można znacznie skrócić.

Narysujmy rzut prostokątny czworościanu na płaszczyznę prostopadłą do prostej $MP$ (rys. 35).

Rzutami krawędzi $AB$ i $CD$ są dwa odcinki dzielące się na połowy w punkcie będącym wspólnym rzutem punktów $M$ i $P$ , rzuty pozostałych krawędzi tworzą wobec tego równoległobok $ADBC$ , a rzut równoległoboku $MNPQ$ pokrywa się z rzutem odcinka $NQ$ . Widzimy od razu, że dowolna płaszczyzna $\alpha$ przechodząca przez prostą $MP$ przecina dwie przeciwległe krawędzie czworościanu, np. $AD$ w punkcie $N'$ i $BC$ w punkcie $Q'$ , przy czym rzuty punktów $N'$ i $Q'$ są symetryczne, względem środka równoległoboku $ADBC$ , stąd wynika równość (1) a także równość (2), gdyż wysokości czworościanów $Q'MPQ$ i $N'MNP$ są równe wysokościom trójkątów $N'MN$ i $Q'PQ$ na rys. 35.