III OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

III

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \left\{ \begin{array}{l} xy (x - y) = ab (a - b)\\ x^3 - y^3 = a^3 - b^3. \end{array} \right. $

Rozwiązanie

Pomnóżmy obie strony pierwszego równania przez $3$ , a następnie dodajmy równania stronami; otrzymamy równanie

$ (x - y)^3 = (a - b)^3, $

równoważne (w dziedzinie liczb rzeczywistych) równaniu

$ x - y = a - b. $

Układ równań (1) jest równoważny układowi równań

$ (2) \qquad \left\{ \begin{array}{l} xy(x - y) = ab (a - b) \\ x - y = a - b \end{array} \right. $

lub układowi prostszemu

$ (3) \qquad \left\{ \begin{array}{l} xy (a - b) = ab (a - b) \\ x - y = a - b. \end{array} \right. $

Należy rozróżnić dwa przypadki:

I. $a - b \ne 0$ . Układ równań (3) jest równoważny układowi

$ (4) \qquad \left\{ \begin{array}{l} xy = ab\\ x - y = a - b \end{array} \right. $

mającemu dwa rozwiązania: $x = a$ , $y = b$ i $x = - b$ , $y = -a$ .

II. $a - b = 0$ . Pierwsze z równań (3) jest tożsamością $0 = 0$ i układ równań (3) redukuje się do jednego równania

$ x - y = 0, $

majajpego rozwiązanie $x = m$ , $y = m$ , gdzie $m$ jest dowolną liczbą.

Uwaga. W dziedzinie liczb zespolonych równanie $(x - y)^3 = (a - b)^3$ jest równoważne alternatywie trzech równań: $x - y = a - b$ , lub $x - y = (a - b)\varepsilon$ lub $x - y = (a - b) \varepsilon^2$ , gdzie

$ \varepsilon = \frac{- 1 + i\sqrt{3}}{2}, $

wobec czego układ równań (1) jest równoważny alternatywie trzech układów równań, z których jednym jest układ (2), a dwa inne powstają z układu (2) przez zastąpienie drugiego równania równaniem $x - y = (a - b)\varepsilon$ lub równaniem $x - y = (a - b)\varepsilon^2$ . Rozwiązanie każdego z tych układów przebiega analogicznie do rozwiązania układu (2). Wynik jest następujący:

I. Gdy $a - b \ne 0$ , dany układ ma w dziedzinie liczb zespolonych $6$ rozwiązań $(x, y)$ , mianowicie:

$ (a, b),\ (a\varepsilon, b\varepsilon),\ (a\varepsilon^2, b\varepsilon^2), $

$ (-b, -a),\ (-b\varepsilon, -a\varepsilon),\ (-b\varepsilon^2, -a\varepsilon^2). $

II. Gdy $a = b$ , rozwiązaniem danego układu równań jest każda para liczb $x = m$ , $y = m$ , gdzie $m$ jest dowolną liczbą zespoloną.