Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

III OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

III OM, 1951-1952

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli kąty $A$ , $B$ , $C$ trójkąta spełniają równanie

$<br /> (1) \qquad \cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1,<br />$

to jeden z tych kątów równa się $120^\circ$ .

Rozwiązanie

Dowód twierdzenia uzyskamy przekształcając równość (1). Aby przekształcenie wykonać w sposób właściwy, należy się zastanowić, do czego ma ono zmierzać.

Wystarczy dowieść, że jedna z liczb $\sin \frac{3}{2} A$ , $\sin \frac{3}{2} B$ , $\sin \frac{3}{2} C$ równa się zeru, gdyż wtedy jeden z kątów $\frac{3}{2} A$ , $\frac{3}{2} B$ , $\frac{3}{2} C$ równa się $180^\circ$ .

Chodzi więc o to, by z równości (1) wywnioskować równość

$<br /> (5) \qquad \sin \frac{3}{2} A \sin \frac{3}{2} B \sin \frac{3}{2} C = 0.<br />$

W tym celu przekształcamy równość (3) jak następuje:

$<br /> 1 - \cos 3A - (\cos 3B + \cos 3C) = 0,<br />$

$<br /> 2 \sin^2 \frac{3}{2} A - 2 \cos \frac{3}{2} (B + C) \cos \frac{3}{2} (B - C) = 0,<br />$

$<br /> 2 \sin^2 \frac{3}{2} A + 2 \sin \frac{3}{2} A \cos \frac{3}{2} (B - C) = 0,<br />$

$<br /> 2 \sin \frac{3}{2} A \left[ \sin \frac{3}{2} A + \cos \frac{3}{2} (B - C) \right] = 0,<br />$

$<br /> 2 \sin \frac{3}{2} A \left[ - \cos \frac{3}{2}(B + C) + \cos \frac{3}{2} (B - C) \right] = 0,<br />$

$<br /> 4 \sin \frac{3}{2} A \sin \frac{3}{2} B \sin \frac{3}{2} C = 0,<br />$

skąd $A = 120^\circ$ lub $B = 120^\circ$ lub $C = 120^\circ$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1748